Ліндельофів простір

У математиці ліндельофів простір (простір Ліндельофа) [1][2] — топологічний простір, в якому кожне відкрите покриття має злічене підпокриття. Властивість Ліндельофа є послабленням частіше використовуваного поняття компактності, яке вимагає існування скінченного підпокриття.

Успадкований простір Ліндельофа[3] — топологічний простір, який є підпростором Ліндельофа. Такий простір іноді називають сильно ліндельофовим, але збиває з толку те, що такий термін іноді використовується в зовсім іншому значенні.[4] Термін успадкований простір Ліндельофа є більш поширеним і однозначним.

Простори Ліндельофа названі на честь фінського математика Ернста Леонарда Ліндельофа.

Властивості просторів Ліндельофа

• Будь-який компактний простір, і взагалі кожен σ-компактний простір, є простором Ліндельофа. Зокрема, кожен зліченний простір також є простором Ліндельофа.

• Простір Ліндельофа є компактним тоді й лише тоді, коли він є зліченно компактним.

• Будь-який простір, що задовольняє другу аксіому зліченності, [5] є простором Ліндельофа, проте не навпаки. Наприклад, існує багато компактних просторів, які не задовольняють другу аксіому зліченності.

• Метричний простір є ліндельофовим тоді й лише тоді, коли він сепарабельний, і тоді й лише тоді, коли він задовольняє другу аксіому зліченності.[6]

• Будь-який регулярний простір Ліндельофа є нормальним.[7]

• Будь-який регулярний простір Ліндельофа є паракомпактним.[8]

• Зліченне об'єднання підпросторів Ліндельофа топологічного простору є ліндельофовим простором.

• Будь-який замкнений підпростір простору Ліндельофа є ліндельофовим простором.[9] Отже, будь-яка F_σ-множина у просторі Ліндельофа є ліндельофовим простором.

• Довільні підпростори простору Ліндельофа не обов'язково є ліндельофовими просторами.[10]

• Неперервний образ простору Ліндельофа є ліндельофовим простором.[9]

• Добуток простору Ліндельофа і компактного простору є ліндельофовим простором.[11]

• Добуток простору Ліндельофа і σ-компактного простору є ліндельофовим простором.

Це є наслідком попередньої властивості.

• Добуток двох просторів Ліндельофа не обов'язково є ліндельофовим простором.

Наприклад, лінія Зоргенфрея ${\displaystyle S}$ є ліндельофовим простором, але площина Зоргенфрея^[en] ${\displaystyle S\times S}$ не є ліндельофовим простором.[12]

• У просторі Ліндельофа будь-яке локально скінченне^[en] сімейство непорожніх підмножин є зліченним.

Властивості успадкованого простору Ліндельофа

• Простір Ліндельофа є успадкованим тоді й лише тоді, коли будь-який відкритий підпростір простору є ліндельофовим простором.[13]

• Успадковані простори Ліндельофа є замкненими відносно зліченних об'єднань, підросторів і неперервних образів.

• Регулярний простір Ліндельофа є успадкованим ліндельофовим простором тоді й лише тоді, коли він є досконало нормальним.[14][15]

• Будь-який простір, що задовольняє другу аксіому зліченності, є успадкованим простором Ліндельофа.

• Будь-який злічений простір є успадкованим простором Ліндельофа.

• Будь-який польський простір є успадкованим простором Ліндельофа.

• Будь-яка міра Радона на успадкованому просторі Ліндельйофа є модерованою.

Приклад: Площина Зоргенфрея не є простором Ліндельофа

Добуток просторів Ліндельофа не обов'язково є простором Ліндельофа. Типовим прикладом цього є площина Зоргенфрея^[en] ${\displaystyle \mathbb {S} }$, яка є добутком дійсної прямої ${\displaystyle \mathbb {R} }$ з топологією напіввідкритих інтервалів з самою собою. Відкритими множинами на площині Зоргенфрея є об'єднання напіввідкритих прямокутників, які включають нижній і лівий краї і опускають верхній і правий краї, включаючи верхній лівий, нижній лівий і нижній правий кути. Антидіагональ площини ${\displaystyle \mathbb {S} }$ — множина точок ${\displaystyle (x,y)}$ таких, що ${\displaystyle x+y=0}$.

Розглянемо відкрите покриття площини ${\displaystyle \mathbb {S} }$, яке складається з:

1. Множини всіх прямокутників ${\displaystyle (-\infty ,x)\times (-\infty ,y)}$, де ${\displaystyle (x,y)}$ знаходяться на антидіагоналі.
2. Множинн всіх прямокутників ${\displaystyle [x,+\infty )\times [y,+\infty )}$, де ${\displaystyle (x,y)}$ знаходяться на антидіагоналі.

Тут слід зауважити, що кожна точка на антидіагоналі міститься точно в одній множині покриття, тому всі ці множини потрібні.

Інший спосіб переконатися, що ${\displaystyle S}$ не є простором Ліндельофа, полягає в тому, що треба помітити, що антидіагональ визначає замкнутий і незлічений дискретний підпростір простору ${\displaystyle S}$. Цей підпростір не є підпростором Ліндельофа, і тому весь простір не може бути ліндельофовим простором (оскільки замкнені підпростори просторів Ліндельофа також є просторами Ліндельофа).

Узагальнення

Наступне означення узагальнює означення компактності та ліндельофності: Топологічний простір є ${\displaystyle \kappa }$-компактним (або ${\displaystyle \kappa }$-ліндельофовим), де ${\displaystyle \kappa }$ є будь-яким кардинальним числом, якщо кожне відкрите покриття множини має підпокриття кардинальності строго меншої ніж ${\displaystyle \kappa }$. Компактний простір є тоді ${\displaystyle \aleph _{0}}$-компактним і простір Ліндельофа є тоді ${\displaystyle \aleph _{1}}$-компактним.

Степінь Ліндельофа, або число Ліндельофа ${\displaystyle l(X)}$, є найменшим кардинальним числом ${\displaystyle \kappa }$ таким, що кожна відкрите покриття простору ${\displaystyle X}$ має підпокриття розмірності не більше ${\displaystyle \kappa }$. У цьому позначенні, простір ${\displaystyle X}$ є простором Ліндельофа, якщо ${\displaystyle l(X)=\aleph _{0}}$. Визначене вище число Ліндельофа не розрізняє компактні простору і некомпактні простору Ліндельофа. Деякі автори назвали числом Ліндельофа інше поняття: найменше кардинальне число ${\displaystyle \kappa }$ таке, що кожне відкрите покриття простору ${\displaystyle X}$ має підпокриття розмірності строго меншої ніж ${\displaystyle \kappa }$.[16] У цьому останньому (і менш уживаному) сенсі число Ліндельофа є найменшим кардинальним числом ${\displaystyle \kappa }$ таким, що топологічний простір ${\displaystyle X}$ є ${\displaystyle \kappa }$-компактним. Це поняття іноді також називають степенем компактності простору ${\displaystyle X}$.[17]

Див. також

• Аксіоми зліченності
• Лема Ліндельофа^[en]

Посилання

1. Steen & Seebach, p. 19
2. Willard, Def. 16.5, p. 110
3. Willard, 16E, p. 114
4. A note on strongly Lindelöf spaces. 1989. S2CID 208002077.
5. Willard, theorem 16.9, p. 111
6. Willard, theorem 16.11, p. 112
7. Willard, theorem 16.8, p. 111
8. Michael, Ernest (1953). A note on paracompact spaces (PDF). Proceedings of the American Mathematical Society (амер.). 4 (5): 831—838. doi:10.1090/S0002-9939-1953-0056905-8. ISSN 0002-9939. Архів оригіналу (PDF) за 6 травня 2021. Процитовано 2 червня 2022.
9. Willard, theorem 16.6, p. 110
10. Examples of Lindelof Spaces that are not Hereditarily Lindelof. 15 квітня 2012. Архів оригіналу за 2 червня 2022. Процитовано 2 червня 2022.
11. The Tube Lemma. 2 травня 2011. Архів оригіналу за 2 червня 2022. Процитовано 2 червня 2022.
12. A Note on the Sorgenfrey Line. 27 вересня 2009. Архів оригіналу за 2 червня 2022. Процитовано 2 червня 2022.
13. Engelking, 3.8.A(b), p. 194
14. Engelking, 3.8.A(c), p. 194
15. General topology - Another question on hereditarily lindelöf space.
16. Mary Ellen Rudin, Lectures on set theoretic topology, Conference Board of the Mathematical Sciences, American Mathematical Society, 1975, p. 4, retrievable on Google Books [1] [Архівовано 2 червня 2022 у Wayback Machine.]
17. Hušek, Miroslav (1969), The class of k-compact spaces is simple, Mathematische Zeitschrift, 110 (2): 123—126, doi:10.1007/BF01124977, MR 0244947, S2CID 120212653.

Література

• Engelking, Ryszard, General Topology, Heldermann Verlag Berlin, 1989. ISBN 3-88538-006-4
• I. Juhász (1980). Cardinal functions in topology - ten years later. Math. Centre Tracts, Amsterdam. ISBN 90-6196-196-3.
• Munkres, James. Topology, 2nd ed.
• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995). Counterexamples in Topology (вид. Dover reprint of 1978). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-486-68735-3. MR 507446.
• Willard, Stephen. General Topology, Dover Publications (2004) ISBN 0-486-43479-6