Антидискретна топологія

Антидискретна топологія або тривіальна топологія — це топологія, яка складається з порожньої та найбільшої множини. Це мінімальний набір множин, який може буде в топології.

Іншими словами, антидискретна топологія на непорожній множині ${\displaystyle X}$ має вигляд ${\displaystyle \tau =\{\varnothing \,,X\}}$. Топологічний простір ${\displaystyle (X,\tau )}$ називається антидискретним[1].

Властивості

• Ця топологія є найслабшою для ${\displaystyle X}$.
• ${\displaystyle \varnothing }$, ${\displaystyle X}$ є одночасно відкритими і замкненими множинами.
• Довільна підмножина є компактною і секвенціально компактною.
• Довільна точка простору ${\displaystyle X}$ є граничною точкою довільної неодноточкової множини.
• Кожна послідовність точок антидискретного простору збігається до будь-якої точки цього простору.
• Довільна неодноточкова множина є щільною в собі. Єдиною ніде не щільною множиною є ${\displaystyle \varnothing }$. Тому ${\displaystyle X}$ є простором другої категорії.
• ${\displaystyle X}$ є сепарабельним простором, оскільки кожна підмножина є скрізь щільною в ньому.
• ${\displaystyle X}$ задовольняє другу аксіому зліченності.
• Кожне відображення в антидискретний простір неперервне.
• ${\displaystyle X}$ є дугово зв'язним в тому й лише в тому разі, коли він незліченний.
• ${\displaystyle X}$ є лінійно зв'язним, а тому і зв'язним.
• ${\displaystyle X}$ псевдометризовний, але не метризовний.
• ${\displaystyle X}$ ультразв'язний та гіперзв'язний.
• ${\displaystyle X}$ є ${\displaystyle T_{3}}$, ${\displaystyle T_{4}}$ та ${\displaystyle T_{5}}$-простором. Якщо ${\displaystyle X}$ містить більше однієї точки, то він не є ${\displaystyle T_{0}}$-простором.

Примітки

1. Борисенко, О. А., Диференціальна геометрія і топологія : Навч. посібник для студ. — Харків : Основа, 1995 . с. 216

Література

1.Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (вид. Dover reprint of 1978), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446

Див. також

• Дискретна топологія
• Топологічний простір