Квантиль

	Квантиль
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика
Ідентифікатор NCI Thesaurus	C48920
	Квантиль у Вікісховищі

Квантиль — одна з числових характеристик випадкових величин, що застосовується в математичній статистиці^[1]. Квантилі відсікають в межах ряду певну частину його членів. Тобто, квантиль (термін використаний вперше Кендалом в 1940 р.) розподілення значень — це таке число x_p, що значення p-ї частини сукупності менше або рівне x_p. Наприклад, квантиль 0.25 (також називається 25-м процентилем або нижнім квартилем) змінної — це таке значення (x_p), що 25 % (p) значень змінної потрапляють нижче даного значення^[2].

Визначення

Нехай маємо ймовірнісний простір $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ , і $\mathbb {P} ^{X}$ — ймовірнісна міра, що задає розподіл деякої випадкової величини $X$ . Нехай зафіксовано $\alpha \in [0,1]$ . Тоді $\alpha$ -квантилем (або квантилем рівня $\alpha$ ) розподілу $\mathbb {P} ^{X}$ називається число $x_{\alpha }\in \mathbb {R}$ , таке що

\mathbb {P} ^{X}((-\infty ,x_{\alpha }])\equiv \mathbb {P} (X\leq x_{\alpha })=\alpha

.

Зауваження

Якщо розподіл неперервний, то $\alpha$ -квантиль однозначно задається рівнянням

F_{X}(x_{\alpha })=\alpha

,

де

F_{X}

— функція розподілу

\mathbb {P} ^{X}

.

Очевидно що для неперервних розподілів справедлива рівність

\mathbb {P} \left(x_{\frac {1-\alpha }{2}}\leq X\leq x_{\frac {1+\alpha }{2}}\right)=\alpha

,

що широко використовується при побудові довірчих інтервалів

Види квантилів

Медіани і квартилі

$0.25$ -квантиль називається першим (або нижнім) квартилем;
$0.5$ -квантиль називається медіаною, або другим квартилем;
$0.75$ -квантиль називається третім (або верхнім) квартилем.

Інтерквартильним або міжквартильним розмахом (англ. Interquartile range) називається різниця між третім і першим квартилем, тобто $x_{0.75}-x_{0.25}$ . Інтерквартильний розмах є характеристикою розкиду розподілу величини. Разом медіана і інтерквартильний розмах можуть бути використані замість математичного сподівання і дисперсії у разі розподілів з великими викидами, або при неможливості обчислення останніх.

Дециль

Дециль характеризує розподіл величин сукупності, при якій дев'ять значень дециля ділять її на десять рівних частин. Будь-яка з цих десяти частин становить 1/10 всієї сукупності. Так, перший дециль відокремлює 10 % найменших величин, лежачих нижче дециля від 90 % найбільших величин, лежачих вище дециля.

Перцентиль

$p$ -им перцентилем називають квантиль рівня $\alpha =p/100$ . При цьому зазвичай розглядають перцентилі для цілих $p$ , хоча дана вимога не обов'язкова. Відповідно, медіана є 50-м перцентилем, а перший і третій квартиль — 25-м і 75-м перцентилем. У цілому, поняття квантиль і перцентиль взаємозамінні, також, як і шкали числення імовірності — абсолютна і відсоткова. Перцентилі також називаються процентилями або центилями.^{[джерело?]}