Теорема Рао — Блеквела

Теорема Рао — Блеквела — твердження в математичній статистиці на основі якого можна покращувати статистичні оцінки параметрів.

Нехай ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ послідовність незалежних однаково розподілених випадкових величин з розподілом, що залежить від деякого невідомого параметра ${\displaystyle \theta \in \Theta .\,}$ Нехай ${\displaystyle \delta (X)}$ — деяка статистична оцінка цього невідомого параметра зі скінченною матрицею других моментів, а ${\displaystyle T=\mathrm {T} (X)\;}$ — достатня статистика для параметра ${\displaystyle \theta .}$ Тоді існує ${\displaystyle \delta _{1}(X)={\textrm {E}}[\delta (X)|T(X)]}$ і крім того ${\displaystyle \delta _{1}(X)}$ є найкращою оцінкою параметра в сенсі середньоквадратичного відхилення, тобто для будь-якого вектора z необхідної розмірності виконується нерівність:

${\displaystyle z{\textrm {E}}[(\delta _{1}(X)-\theta )^{T}(\delta _{1}(X)-\theta )]z^{T}\leqslant z{\textrm {E}}[(\delta (X)-\theta )^{T}(\delta (X)-\theta )]z^{T}.}$

Рівність виконується лише коли ${\displaystyle \delta \,}$ є вимірною функцією від T.

Доведення

Доведення для випадку коли параметр є одним числом тобто його розмірність рівна одиниці. Тоді

${\displaystyle \operatorname {E} [\delta _{1}(X)-\theta ]^{2}=\operatorname {E} \left[{\textrm {E}}(\delta (X)|T(X))-\theta \right]^{2}=\operatorname {E} \left[{\textrm {E}}(\delta (X)-\theta |T(X))\right]^{2}\leqslant \operatorname {E} \left[{\textrm {E}}((\delta (X)-\theta )^{2}|T(X))\right]=\operatorname {E} (\delta (X)-\theta )^{2}.\,\!}$

Нерівність випливає з того, що для будь-якої випадкової величини W, ${\displaystyle \operatorname {var} W=\operatorname {E} W^{2}-(\operatorname {E} W)^{2}]\geqslant 0,}$ якщо взяти ${\displaystyle W={\textrm {E}}(\delta (X)-\theta |T(X)).\,}$ Звідси також бачимо, що рівність виконується лише коли ${\displaystyle \operatorname {var} \,W=0,\,}$ тобто коли ${\displaystyle \delta (X)-\theta }$ приймає одне значення для кожного значення T, тобто ${\displaystyle \delta (X)}$ є функцією від T.

Див. також

• Достатня статистика
• Статистична оцінка

Джерела

• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)
• Lehmann, E. L.; Casella, G. (1998). Theory of Point Estimation (2nd ed.). Springer. Chapter 4. ISBN 0-387-98502-6.