Квазіізометрія

У математиці квазіізометрія — це функція між двома метричними просторами, яка враховує великомасштабну геометрію цих просторів і нехтує їх дрібні деталі. Два метричні простори є квазіізометричними, якщо між ними існує квазіізометрія. Властивість бути квазіізометричним поводиться як відношення еквівалентності в класі метричних просторів.

Концепція квазіізометрії особливо важлива в геометричній теорії груп, що відбито в працях Громова[1].

Ця ґратка квазіізометрична площині.

Визначення

Припустимо, що ${\displaystyle f}$ є (не обов'язково неперервним) відображенням з одного метричного простору ${\displaystyle (M_{1},d_{1})}$ у другий метричний простір ${\displaystyle (M_{2},d_{2})}$. ${\displaystyle f}$ називають квазіізометрією з ${\displaystyle (M_{1},d_{1})}$ у ${\displaystyle (M_{2},d_{2})}$, якщо існують сталі ${\displaystyle A\geq 1}$, ${\displaystyle B\geq 0}$, і ${\displaystyle C\geq 0}$ такі, що[2]:

1. для кожних двох точок ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle y}$ в ${\displaystyle M_{1}}$:

   ${\displaystyle \forall x,y\in M_{1}:{\frac {1}{A}}\;d_{1}(x,y)-B\leq d_{2}(f(x),f(y))\leq A\;d_{1}(x,y)+B.}$

2. кожна точка ${\displaystyle M_{2}}$ міститься в межах сталої відстані ${\displaystyle C}$ від точки образу. Формальніше:

   ${\displaystyle \forall z\in M_{2}:\exists x\in M_{1}:d_{2}(z,f(x))\leq C.}$

Два метричні простори ${\displaystyle (M_{1},d_{1})}$ і ${\displaystyle (M_{2},d_{2})}$ називають квазіізометричними, якщо існує квазіізометрія ${\displaystyle f}$ з ${\displaystyle (M_{1},d_{1})}$ у ${\displaystyle (M_{2},d_{2})}$.

Відображення називають квазіізометричним вкладенням, якщо воно задовольняє першій умові, але не обов'язково другій (тобто воно є приблизно ліпшицевим, але може не бути приблизно сюр'єктивним). Іншими словами, якщо при відображенні ${\displaystyle (M_{1},d_{1})}$ є квазіізометричним до підпростору ${\displaystyle (M_{2},d_{2})}$.

Два метричні простори ${\displaystyle M_{1}}$ і ${\displaystyle M_{2}}$ називають квазіізометричними, що позначається ${\displaystyle M_{1}{\underset {q.i.}{\sim }}M_{2}}$, якщо існує квазіізометрія ${\displaystyle f:M_{1}\to M_{2}}$.

Приклади

Відображення між евклідовою площиною та площиною з мангеттенською відстанню, яке відображає кожну точку в себе, є квазіізометрією: у ній відстані помножені на коефіцієнт щонайбільше ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$. Зверніть увагу, що тут не може бути ізометрії, оскільки, наприклад, манхеттенська відстань між точками ${\displaystyle (1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)}$однакова, але на евклідовій площині не існує 4 точок, які б були на однаковій відстані одна від одної.

Відображення ${\displaystyle f:\mathbb {Z} ^{n}\mapsto \mathbb {R} ^{n}}$ (обидва з евклідовою метрикою), яке переводить кожен ${\displaystyle n}$-кортеж цілих чисел у самого себе є квазіізометрією: відстані зберігаються точно, і кожен дійсний кортеж лежить у межах ${\displaystyle {\sqrt {n/4}}}$ від цілочисельного кортежу. З іншого боку, розривна функція, яка округлює кожен кортеж дійсних чисел до найближчого цілого кортежу, також є квазіізометрією: кожна точка переводиться цим відображенням у точку в межах ${\displaystyle {\sqrt {n/4}}}$ від неї, тобто округлення змінює відстань між парами точок додавання або віднімання максимум ${\displaystyle 2{\sqrt {n/4}}}$.

Кожна пара скінченних або обмежених метричних просторів є квазіізометричною. У цьому випадку кожне відображення з одного простору в інший є квазіізометрією.

Відношення еквівалентності

Якщо ${\displaystyle f:M_{1}\mapsto M_{2}}$ є квазіізометрією, то існує квазіізометрія ${\displaystyle g:M_{2}\mapsto M_{1}}$. Дійсно, ${\displaystyle g(x)}$ можна визначити, взявши як ${\displaystyle y}$ будь-яку точку на образі ${\displaystyle f}$, розташовану в межах відстані ${\displaystyle C}$ від ${\displaystyle x}$, та як ${\displaystyle g(x)}$ будь-яку точку в ${\displaystyle f^{-1}(y)}$.

Оскільки тотожне відображення є квазіізометрією, а композиція двох квазіізометрій є квазіізометрією, то властивість бути квазіізометричним поводиться в класі метричних просторів як відношення еквівалентності.

Використання в геометричній теорії груп

Якщо дано скінченну породжувальну множину S скінченнопородженої групи G, можна сформувати відповідний граф Келі S і G. Якщо оголосити довжину кожного ребра рівною 1, цей граф стає метричним простором. Взяття іншої скінченної породжувальної множини T приводить до іншого графа та іншого метричного простору, однак ці два простори є квазіізометричними. Отже, цей клас квазіізометрії є інваріантом групи G. Будь-яка властивість метричних просторів, яка залежить лише від класу квазіізометрії простору, негайно дає інший інваріант груп, відкриваючи галузь теорії груп для геометричних методів.

Загалом, лема Шварца — Мілнора стверджує, що якщо група G діє цілком розривно з компактним фактором на властивому геодезичному просторі X, то G є квазіізометричною відносно X (це означає, що будь-який граф Кейлі для G є квазіізометричним). Це дає нові приклади груп, квазіізометричних одна одній:

• Якщо G' — підгрупа скінченного індексу в G, то G' є квазіізометричною G;
• Якщо G і H — фундаментальні групи двох компактних гіперболічних многовидів однакової розмірності d, то обидві вони квазіізометричні гіперболічному простору H^d і, отже, одна одній; з іншого боку, існує нескінченна кількість класів квазіізометрії фундаментальних груп скінченного об'єму[3].

Квазігеодезичні та лема Морса

Квазігеодезична в метричному просторі ${\displaystyle (X,d)}$ є квазіізометричним вкладенням ${\displaystyle \mathbb {R} }$ в ${\displaystyle X}$. Точніше відображення ${\displaystyle \phi :\mathbb {R} \to X}$ таке, що існує ${\displaystyle C,K>0}$ так що

${\displaystyle \forall s,t\in \mathbb {R} :C^{-1}|s-t|-K\leq d(\phi (t),\phi (s))\leq C|s-t|+K}$

називають ${\displaystyle (C,K)}$-квазігеодезичною. Очевидно, геодезичні (параметризовані довжиною дуги) є квазігеодезичними. Той факт, що в деяких просторах зворотне приблизно істинне, тобто що кожна квазігеодезична залишається на обмеженій відстані від справжньої геодезичної, називають лемою Морса (не плутати з, можливо, відомішою лемою Морса в диференціальній топології). Формальніше:

Нехай ${\displaystyle \delta ,C,K>0}$ і ${\displaystyle X}$ властивий δ-гіперболічний простір^[en]. Існує ${\displaystyle M}$ таке, що для будь-якої ${\displaystyle (C,K)}$-квазігеодезичної ${\displaystyle \phi }$ існує в ${\displaystyle X}$ геодезична ${\displaystyle L}$ така, що ${\displaystyle d(\phi (t),L)\leq M}$ для усіх ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$.

Це важливий засіб у геометричній теорії груп. Безпосереднім застосуванням є те, що будь-яка квазіізометрія між власне гіперболічними просторами індукує гомеоморфізм між їхніми межами. Цей результат є першим кроком у доведенні теореми про жорсткість Мостова.

Приклади квазіізометричних інваріантів груп

Нижче наведено кілька прикладів властивостей графів груп Келі, які є інваріантними відносно квазіізометрії[2]:

Гіперболічність

Групу називають гіперболічною, якщо один із її графів Келі є δ-гіперболічним простором для деякого δ. При переході між різними визначеннями гіперболічності конкретне значення δ може змінюватися, але отримані поняття гіперболічної групи виявляються еквівалентними.

Гіперболічні групи мають розв'язну словесну задачу^[en]. Вони є біавтоматичними^[en] та автоматичними^[en][4]: справді, вони сильно геодезично автоматичні, тобто в групі існує автоматична структура, де мовою, прийнятою для акцептора слів, є набір усіх геодезичних слів.

Зростання

Ступінь зростання групи відносно симетричної породжувальної множини описує розмір куль у групі. Кожен елемент у групі можна записати як добуток твірних, а ступінь зростання підраховує кількість елементів, які можна записати як добуток довжини n.

За теоремою Громова, група поліноміального зростання є віртуально нільпотентною^[en], тобто має нільпотентну підгрупу скінченного індексу. Зокрема, порядок зростання полінома ${\displaystyle k_{0}}$ має бути натуральним числом і, фактично, ${\displaystyle \#(n)\sim n^{k_{0}}}$ .

Якщо ${\displaystyle \#(n)}$ зростає повільніше, ніж будь-яка експоненційна функція, G має субекспоненціальний ступінь зростання. Будь-яка така група аменабельна^[en].

Кінці

Кінці топологічного простору — це, грубо кажучи, сполучні компоненти «ідеальної межі» простору. Тобто кожен кінець представляє топологічно окремий спосіб переміщення до нескінченності в просторі. Додання точки на кожному кінці дає компактифікацію початкового простору, відому як кінцева компактифікація.

Кінці скінченнопородженої групи^[en] визначаються як кінці відповідного графа Келі; це визначення не залежить від вибору скінченної породжувальної множини. Кожна скінченнопороджена нескінченна група має 0, 1, 2 або нескінченно багато кінців, а теорема Столлінгса про кінці груп^[en] забезпечує розкладання для груп з більш ніж одним кінцем.

Якщо два зв'язні локально скінченні графи є квазіізометричними, то вони мають однакову кількість кінців[5]. Зокрема, дві квазіізометричні скінченно породжені групи мають однакову кількість кінців.

Аменабельність

Аменабельна група — локально компактна топологічна група G з операцію усереднення на обмежених функціях, яка є інваріантною відносно трансляції елементів групи. Оригінальне визначення в термінах скінченно адитивної інваріантної міри (або середнього) на підмножинах G увів Джон фон Нейман 1929 року під німецькою назвою «messbar» (вимірний) у відповідь на парадокс Банаха — Тарського. 1949 року Маглон М. Дей запропонував англійський переклад «amenable», мабуть, як гру слів[6].

У теорії дискретних груп, де G має дискретну топологію, використовується простіше визначення. У цьому випадку група є аменабельною, якщо можна сказати, яку частку G займає будь-яка дана підмножина.

Якщо група має послідовність Фьолнера^[en], вона автоматично є аменабельною.

Асимптотичний конус

Ультрамежа — це геометрична побудова, яка визначає для послідовності метричних просторів X_n граничний метричний простір. Важливим класом ультрамеж є так звані асимптотичні конуси метричних просторів. Нехай (X,d) — метричний простір, ω — неголовний ультрафільтр на ${\displaystyle \mathbb {N} }$ і нехай p_n ∈ X — послідовність базових точок. Тоді ω — ультрамежа послідовності ${\displaystyle (X,{\frac {d}{n}},p_{n})}$ називають асимптотичним конусом X відносно ω і ${\displaystyle (p_{n})_{n}\,}$ і позначають ${\displaystyle Cone_{\omega }(X,d,(p_{n})_{n})\,}$. Часто приймають послідовність базових точок сталою, p_n = p для деякого p ∈ X; в цьому випадку асимптотичний конус не залежить від вибору p ∈ X і позначається ${\displaystyle Cone_{\omega }(X,d)\,}$ або просто ${\displaystyle Cone_{\omega }(X)\,}$.

Поняття асимптотичного конуса відіграє важливу роль у геометричній теорії груп, оскільки асимптотичні конуси (або, точніше, їх топологічні типи та бі-ліпшицеві типи) забезпечують квазіізометричні інваріанти метричних просторів загалом і скінченно породжених груп зокрема[7]. Асимптотичні конуси також виявляються корисним інструментом у вивченні відносно гіперболічних груп^[en] та їх узагальнень[8].

Див. також

• Ізометрія

Примітки

1. Bridson, Martin R. (2008), Geometric and combinatorial group theory, у Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre (ред.), The Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press, с. 431—448, ISBN 978-0-691-11880-2
2. P. de la Harpe, Topics in geometric group theory. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press, Chicago, IL, 2000. ISBN 0-226-31719-6
3. Schwartz, Richard (1995). The Quasi-Isometry Classification of Rank One Lattices. I.H.É.S. Publications Mathématiques. 82: 133—168. doi:10.1007/BF02698639.
4. Charney, Ruth (1992), Artin groups of finite type are biautomatic, Mathematische Annalen, 292: 671—683, doi:10.1007/BF01444642
5. Stephen G.Brick (1993). Quasi-isometries and ends of groups. Journal of Pure and Applied Algebra. 86 (1): 23—33. doi:10.1016/0022-4049(93)90150-R.
6. Day's first published use of the word is in his abstract for an AMS summer meeting in 1949, Means on semigroups and groups, Bull. A.M.S. 55 (1949) 1054—1055. Many text books on amenability, such as Volker Runde's, suggest that Day chose the word as a pun.
7. John Roe. Lectures on Coarse Geometry. American Mathematical Society, 2003. ISBN 978-0-8218-3332-2
8. Cornelia Druţu^[en] and Mark Sapir (with an Appendix by Denis Osin^[en] and Mark Sapir^[en]), Tree-graded spaces and asymptotic cones of groups. Topology, Volume 44 (2005), no. 5, pp. 959—1058.