Граф Петерсена

Граф Петерсена
Граф Петерсена зазвичай зображують у вигляді п'ятикутника з п'ятикутником всередині, з п'ятьма спицями.
Названо на честь	Юліуса Петерсена
Вершин	10
Ребер	15
Радіус	2
Діаметр	2
Обхват	5
Автоморфізм	120 (S5)
Хроматичне число	3
Хроматичний індекс	4
Дробово-хроматичний індекс	3
Властивості	Кубічний Сильно регулярний Відстанево-транзитивний

Граф Петерсена — неорієнтований граф з 10 вершинами і 15 ребрами. Це невеличкий граф, який слугує корисним прикладом або контрприкладом для багатьох проблем в теорії графів. Названий на честь Юліуса Петерсена, який у 1898 побудував його як найменший безмостовий кубічний граф з неможливістю триколірного розфарбування ребер.[1] Хоча граф звичайно приписують Петерсену, він з'явився на 12 років раніше, в 1886.[2]

Дональд Кнут стверджує, що граф Петерсена це «видатна форма, що слугує контрприкладом для багатьох оптимістичних пророцтв про те, що може бути правильним для графів загалом.»[3]

Побудова

Граф Петерсена як граф Кнесера ${\displaystyle KG_{5,2}}$

Граф Петерсена — це доповнення реберного графа для ${\displaystyle K_{5}}$. Це також граф Кнесера ${\displaystyle KG_{5,2}}$; це значить, що він має по одній вершині для кожного 2-елементної підмножини 5-елементної множини, і дві вершини зв'язані ребром тоді і тільки тоді, якщо відповідні двохелементні підмножини не перетинаються між собою. Як граф Кнесера форми ${\displaystyle KG_{2n-1,n-1}}$ — це приклад непарного графа.

Геометрично, граф Петерсена є графом, утвореним вершинами і ребрами напівдодекаедра, тобто додекаедра з ототожненими протилежними вершинами, ребрами і гранями.

Вкладення

Щоб отримати ${\displaystyle K_{3,3}}$ зведіть голубі до найближчих зелених і між собою дві червоні

Граф Петерсена — непланарний. Будь-який непланарний граф включає в собі як мінор повний граф ${\displaystyle K_{5}}$, або повний двочастковий граф ${\displaystyle K_{3,3}}$, але граф Петерсена має як мінори їх обох. Мінор ${\displaystyle K_{5}}$ можна отримати видаленням ребер досконалого парування, наприклад, п'яти коротких ребер на малюнку.

Число схрещень графа Петерсена дорівнює 2

Найпоширеніший малюнок графа Петерсена, пентаграма всередині пентагона, має п'ять перетинів. Однак, це найкращий малюнок з огляду на кількість перетинів; існує інше зображення лише з двома перетинами. На торі граф Петерсена можна намалювати без перетинів; отже його зорієнтований рід 1.

Див. також

• Задача степеня — діаметра
• Напівікосаедр

Примітки

1. Brouwer, Andries E., The Petersen graph, архів оригіналу за 8 червня 2011, процитовано 25 лютого 2011
2. Kempe, A. B. (1886), A memoir on the theory of mathematical form, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 177: 1—70, doi:10.1098/rstl.1886.0002
3. Knuth, Donald E., The Art of Computer Programming; volume 4, pre-fascicle 0A. A draft of section 7: Introduction to combinatorial searching