Задача степеня — діаметра

Зада́ча сте́пеня — діа́метра — задача пошуку найбільшого можливого графа (в термінах розміру множини його вершин ) діаметром такого, що найбільший степінь будь-якої вершини в графі не перевищує [1]. Розмір графа обмежений зверху межею Мура. Для і тільки граф Петерсена, граф Гофмана — Синглтона і, можливо, граф із діаметром і степенем досягають межі Мура. В загальному випадку графи з найбільшими значеннями степінь/діаметр мають розмір, значно менший від межі Мура.

Вивчається також задача пошуку найбільшого можливого орграфа, замість степеня графа в цьому випадку використовують напівстепень виходу[2].

Формула

Нехай  — найбільше можливе число вершин графа зі степенем, що не перевершує , і діаметром , тоді , де  — межа Мура:

Ця межа досягається в рідкісних випадках, тому вивчення пішло в напрямку, наскільки близькі до межі Мура існують графи.

Величину називають дефектом графа (тут  — число вершин у графі). Кажуть, що граф має малий дефект, якщо [3]. Є гіпотеза, що для степенів не існує -графів із дефектом 2. Про графи з дефектом, більшим від 2, відомо мало[4].

Для асимптотичної поведінки зауважимо, що .

Для параметра висловлено гіпотезу, що для всіх ; відомо, що і що .

MaxDDBS

Якщо дано зв'язний граф-господар[уточнити] , верхня межа степеня і верхня межа діаметра , шукається найбільший підграф графа з найбільшим степенем, що не перевершує і діаметром, що не перевершує . Цю задачу називають MaxDDBS, і вона містить задачу розміру — діаметра як частковий випадок (а саме, якщо за граф-господар взяти досить великий повний граф). Задача є NP-складною.

Див. також

Примітки

  1. Молодцов, 2004, с. 109.
  2. Miller, 2010, с. 341.
  3. Miller, 2010, с. 337.
  4. Miller, 2010, с. 338.

Література

  • Молодцов С. Г. Наибольшие графы диаметра 2 и степени 6 // Дискретный анализ и исследование операций : тезисы докладов. — Новосибирск, Академгородок : Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, 2004. — Вип. 28 июня - 2 июля 2004 (17 грудня). — С. 109. Архівовано з джерела 10 квітня 2022. Процитовано 16 березня 2022.
  • Bannai E., Ito T. On Moore graphs // J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Ser. A. — 1973. — Т. 20 (17 грудня). — С. 191–208.
  • Hoffman Alan J., Singleton Robert R. Moore graphs with diameter 2 and 3 // IBM Journal of Research and Development. — 1960. — Т. 5, вип. 4 (17 грудня). — С. 497–504. — DOI:10.1147/rd.45.0497. Архівовано з джерела 18 травня 2008. Процитовано 16 березня 2022.
  • Singleton Robert R. There is no irregular Moore graph // American Mathematical Monthly. — Mathematical Association of America, 1968. — Т. 75, вип. 1 (17 грудня). — С. 42–43. — DOI:10.2307/2315106.
  • Miller Mirka, Širáň Jozef. Moore graphs and beyond: A survey of the degree/diameter problem // Electronic Journal of Combinatorics. — 2005. — Т. Dynamic survey (17 грудня). — С. DS14. Архівовано з джерела 10 лютого 2022. Процитовано 16 березня 2022.
  • CombinatoricsWiki - The Degree/Diameter Problem. Архів оригіналу за 20 лютого 2012. Процитовано 16 березня 2022.
  • Miller Mirka. An Overview of the Degree/Diameter Problem for Directed, Undirected and Mixed Graphs // Extended abstracts of IWONT. — Barcelona, 2010, 2010. — 17 грудня. — С. 335—346.
  • Dekker A., Perez-Roses H., Pineda-Villavicencio G., Watters P. The Maximum Degree & Diameter-Bounded Subgraph and its Applications // Journal of Mathematical Modelling and Algorithms. — 2012. — 17 грудня. — DOI:10.1007/s10852-012-9182-8.
  • Miller M., Perez-Roses H., Ryan J. The Maximum Degree and Diameter Bounded Subgraph in the Mesh. Discrete Applied Mathematics. — 2012. — 17 грудня. — DOI:10.1016/j.dam.2012.03.035.