Багатолінійна алгебра

В математиці, багатолінійна алгебра розширює методи лінійної алгебри. Так само як і лінійна алгебра, яка побудована на основі поняття вектору та розвиває теорію векторного простору, багатолінійна алгебра основується на понятті p-векторів і полівекторів із зовнішньої алгебри.

Походження

В векторному просторі розмірністю n, як правило розглядають лише вектори. Згідно твердження Германа Грассмана і інших, ця презумпція не дозволяє розглянути структури із пар, трійок, і полівекторів загалом. Хоча Оскільки існує декілька комбінаторних можливостей, простір полівекторів в результаті має 2^n вимірів. Найбільш безпосереднім застосуванням є абстрактне визначення детермінанту (визначника). Багатолінійна алгебра також має своє застосування при вивченні реакції матеріалу на напругу і деформацію в механіці при різних модулях пружності. Це практичне застосування призвело до появи терміна «тензор», що описує елементи багатолінійного простору.

Розділи багатолінійної алгебри

Сам предмет багатолінійної алгебри розвивається не так давно, в порівнянні з поняттями представленими нижче. Тут приведені ключові розділи, які відносяться до неї:

• Білінійне відображення
• Метод Крамера
• Спряжений простір
• Нотація Ейнштейна
• Зовнішня алгебра
• Зовнішня похідна
• Дельта Кронекера
• Символ Леві-Чивіти
• Метричний тензор
• Мультилінійна функція
• Тензор
• Тензорна алгебра
• Згортка тензора

Джерела

• Гельфанд І. М. Лекції з лінійної алгебри. — 2025. — 248 с.(укр.)
• Hermann Grassmann (2000) Extension Theory, American Mathematical Society. Translation by Lloyd Kannenberg of the 1862 Ausdehnungslehre.
• Wendell H. Fleming (1965) Functions of Several Variables, Addison-Wesley.

Second edition (1977) Springer ISBN 3-540-90206-6.

Chapter: Exterior algebra and differential calculus # 6 in 1st ed, # 7 in 2nd.

• Ricci-Curbastro, Gregorio; Levi-Civita, Tullio (1900), Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications, Mathematische Annalen, 54 (1): 125—201, doi:10.1007/BF01454201, ISSN 1432-1807
• Ronald Shaw (1983) «Multilinear algebra and group representations», volume 2 of Linear Algebra and Group Representations, Academic Press ISBN 0-12-639202-1.