Простір стовпців (рядків) матриці

Матриця

${\displaystyle \mathbf {A} =\left({\begin{array}{rrrr}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{array}}\right)}$

задає лінійне відображення (оператор) з простору${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ в простір ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$.

Рядки матриці A є елементами векторного простору ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, а стовпці — елементами ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$.

Властивості

• Лінійна оболонка рядків матриці ${\displaystyle A}$ є лінійним підпростором простору ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.
• Лінійна оболонка стовпців матриці ${\displaystyle A}$ є лінійним підпростором простору ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$.

Теорема про ранг матриці

Ранг матриці рівний найбільшому числу лінійно-незалежних рядків (або стовпців) матриці. Причому ранг по стовпцях збігається з рангом по рядках.

Основна теорема лінійної алгебри

Матриця A ( rank A = r) вводить чотири фундаментальні підпростори:

Назва	Визначення	Простір в якому існує	Розмірність
простір стовпців чи образ	im(A) чи range(A)	${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$	r
нульпростір чи ядро	ker(A) чи null(A)	${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$	n — r
простір рядків чи кообраз^[en]	im(A^T) чи range(A^T)	${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$	r
лівий нульпростір чи коядро	ker(A^T) чи null(A^T)	${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$	m — r

• В ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\;\;\ker {(A)}=(\mathrm {im} (A^{T}))^{\perp }}$, тобто, нульпростір є ортогональним доповненням простору рядків.
• В ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\;\;\ker {(A^{T})}=(\mathrm {im} (A))^{\perp }}$, тобто, лівий нульпростір є ортогональним доповненням простору стовпців.

Джерела

• Гельфанд І. М. Лекції з лінійної алгебри. — 2025. — 248 с.(укр.)
• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2025. — 757 с.(укр.)