Banach-Steinhaus sats

Inom den gren av matematiken som kallas funktionalanalys är Banach-Steinhaus sats eller satsen om likformig begränsning som den också kallas ett ofta använt resultat.

Banach-Steinhaus sats

• Låt ${\displaystyle X}$ och ${\displaystyle Y}$ vara två normerade vektorrum och ${\displaystyle \{T_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$ en familj av begränsade linjära operatorer ${\displaystyle T_{\alpha }:X\longrightarrow Y.}$ Denna familj besitter följande två egenskaper:
  • Operatornormerna ${\displaystyle \{\Vert T_{\alpha }\Vert \}_{\alpha \in A}}$ är begränsade om vektornormerna ${\displaystyle \{\Vert T_{\alpha }(x)\Vert \}_{\alpha \in A}}$ är begränsade, för varje punkt ${\displaystyle x}$ i en icke-mager delmängd av rummet ${\displaystyle X}$.
  • Operatornormerna ${\displaystyle \{\Vert T_{\alpha }\Vert \}_{\alpha \in A}}$ är begränsade om vektornormerna ${\displaystyle \{\Vert T_{\alpha }(x)\Vert \}_{\alpha \in A}}$ är begränsade, för varje punkt ${\displaystyle x}$ i Banachrummet ${\displaystyle X}$.

Användning av Banach-Steinhaus sats

En omedelbar konsekvens av Banach-Steinhaus sats är den så kallade Principen om kondensation av singulariteter: Om ${\displaystyle X}$ är ett Banachrum och ${\displaystyle F_{n}}$ är en familj av obegränsade linjära operatorer från X till något annat linjärt rum ${\displaystyle Y}$ så gäller att

${\displaystyle R=\{x\in X:\sup _{T\in F_{n}}\|T(x)\|=\infty ,\;{\mbox{for all}}\;n\}}$ är tät i X.

Ett annat viktigt resultat som kan visas med hjälp av Banach-Steinhaus sats är att de flesta kontinuerliga periodiska funktioner inte konvergerar punktvis till sin Fourierserieutveckling. Mer precist: för varje ${\displaystyle x\in \mathbb {T} }$ gäller att mängden av funktioner i ${\displaystyle C(\mathbb {T} )}$ vars Fourierserie divergerar i x är tät i ${\displaystyle C(\mathbb {T} )}$.

Det är också Banach-Steinhaus sats, tillsammans med det faktum att grafen till Wienerprocessen har ändlig kvadratisk variation, som tvingade fran begreppet stokastisk integral och därmed det nya området stokastisk analys.

Bevis av Banach-Steinhaus sats

Beviset bygger på Baires kategorisats och begreppet mager mängd.