Tät mängd

En tät mängd är inom topologi och matematisk analys en delmängd ${\displaystyle A}$ till ett topologiskt rum ${\displaystyle X}$ så att i varje omgivning till varje element ${\displaystyle x}$ i ${\displaystyle X}$ finns ett element ur ${\displaystyle A}$.

Ekvivalent^[särskiljning behövs] uttryckt är en delmängd ${\displaystyle A}$ tät i ${\displaystyle X}$ om ${\displaystyle X}$ är den minsta slutna mängd som innehåller hela ${\displaystyle A}$, dvs det slutna höljet till ${\displaystyle A}$ är ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\bar {A}}=X}$

som även kan användas som villkor för att ${\displaystyle A}$ är tät i ${\displaystyle X}$ om ${\displaystyle X}$ är ett metriskt rum.

Exempel

• De rationella och de irrationella talen är var för sig täta delmängder i de reella talen.
• Med avståndsfunktionen ${\displaystyle d(f,g)=\max _{t\in [a,b]}(|f(t)-g(t)|)}$ är polynomfunktionerna täta i mängden kontinuerliga funktioner på ${\displaystyle [a,b]}$. Däremot är de kontinuerliga funktionerna på samma intervall inte täta i mängden av alla funktioner.

Se även

• Separabelt rum