Baires kategorisats

Baires kategorisats är ett fundamentalt begrepp inom funktionalanalys som bland annat ger upphov till de stora teoremen inom funktionalanalys: Banach-Schauders sats, satsen om den slutna grafen och Banach-Steinhaus sats. Satsen är uppkallad efter René-Louis Baire.

Baires kategoriteorem

Varje fullständigt metriskt rum ${\displaystyle X}$ besitter följande två egenskaper:

• Om ${\displaystyle \{O_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ är en följd bestående av öppna och täta delmängder av ${\displaystyle X}$, så är deras snitt ${\displaystyle \cap _{n=1}^{\infty }O_{n}\,}$ också en tät delmängd av ${\displaystyle X}$.
• Mängden ${\displaystyle X}$ kan inte framställas som en uppräknelig union av ingenstans täta delmängder ${\displaystyle \{M_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ : ${\displaystyle X\neq \bigcup _{n=1}^{\infty }M_{n}.}$