Konvergens (matematik)

Konvergens är inom matematik en egenskap hos vissa följder, det vill säga sekvenser av objekt ${\displaystyle x_{i}}$. Dessa är konvergenta om de närmar sig ett fixt objekt ${\displaystyle x}$.

Med att en summa är konvergent menas att följden av dess partialsummor är konvergent.

Formellt är en följd ${\displaystyle \{x_{i}\}_{i\in \mathbb {N} }}$ i ett metriskt rum X konvergent om det finns ett element x i rummet X sådant att

För varje ${\displaystyle \epsilon >0}$ så finns ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ så att om ${\displaystyle i>N}$ så gäller

${\displaystyle d(x_{i},x)<\epsilon }$.

I ett allmänt topologiskt rum X sägs följden ${\displaystyle \{x_{i}\}_{i\in \mathbb {N} }}$ konvergera mot x, om det för varje omgivning U till x gäller att ${\displaystyle X\setminus U}$ endast innehåller ändligt många element från följden ovan.

Motsatsen är att följden är divergent.

I ett fullständigt metriskt rum är alla Cauchy-följder konvergenta. Stolz–Cesàros sats kan användas för att avgöra om en serie är konvergent.

Exempel

1. I R är talföljden 1, 1/2, 1/4, 1/8, ... konvergent, och den konvergerar mot 0. Talföljden 1, 1+1/2, 1+1/2+1/4, ... konvergerar även den, i detta fallet mot 2.
2. I rummet av alla reella tal större än (eller lika med) 0, konvergerar följden 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... mot 0. Däremot är följden 1, 1+1/2, 1+1/2+1/3, ..., den harmoniska serien, divergent och växer mot oändligheten.

Funktionsföljder

Man kan också betrakta konvergens av en följd av funktioner ${\displaystyle f_{n}}$ definierade på något intervall, ${\displaystyle I}$, av de reella talen eller allmänt en godtycklig mängd. Man säger att ${\displaystyle f_{n}}$ konvergerar punktvis till ${\displaystyle f}$ om ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)}$ för alla ${\displaystyle x}$ i ${\displaystyle I}$.