sk Faktori%C3%A1l

V matematike sa pojmom faktoriál prirodzeného čísla $n$ označuje súčin všetkých prirodzených čísel od $n$ po 1. Zapisuje sa $n!$ a číta sa „n faktoriál“. Napríklad:

5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120

Definícia

Faktoriál kladného celého čísla $n$ je definovaný vzťahom:

n!=\prod _{k=1}^{n}k

Pre potreby kombinatoriky je výhodné definovať aj faktoriál nuly. V takom prípade sa definitoricky kladie $0!=1$ .

Kombinatorické súvislosti

Faktoriál čísla $n$ sa rovná počtu rôznych permutácii $n$ -prvkovej množiny.

Asymptotické vlastnosti

Funkcia faktoriál rastie rýchlejšie, než akákoľvek exponenciálna funkcia a tým skôr rýchlejšie než akýkoľvek mnohočlen. Pre zaujímavosť, už $70!$ predstavuje približne číslo 1,197·10¹⁰⁰ čo je číslo väčšie ako odhadovaný počet atómov v nám známom vesmíre.

Algoritmické implementácie

Implementácia pomocou rekurzívnej funkcie. Ukážka v pseudokóde:

 function faktorial(n)
     if n = 0
         then return 1
         else return n * faktorial(n - 1)

Ukážka implementácie v programovacom jazyku C:

 long double faktorial (int n) {
     long double b = 1;
     while (n--)
          b*=n+1;
     return b;
 }

Dvojitý faktoriál, multifaktoriál

Okrem bežného faktoriálu sa môže definovať tiež dvojitý faktoriál, označený n!!, v ktorom sa činitele znižujú po dvoch namiesto po jednom. Je možno ho rekurzívne definovať ako