Mnohočlen

Mnohočlen alebo polynóm je súčet alebo rozdiel jednočlenov.

Je to výraz v tvare

${\displaystyle p(x)=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}x^{i}}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n}}$,

kde ${\displaystyle a_{n}\neq 0}$. Čísla ${\displaystyle a_{0},a_{1},...,a_{n}}$ sa nazývajú koeficienty polynómu.

Funkciu ${\displaystyle P}$ dvoch premenných ${\displaystyle x\in R,y\in R}$ označíme ako polynóm, ak existujú prirodzené čísla ${\displaystyle n,m}$ a konštanty ${\displaystyle a_{ij}}$ také, že platí

${\displaystyle P(x,y)=\sum _{i=0}^{n}\sum _{j=0}^{m}a_{ij}x^{i}y^{j}}$

Stupeň polynómu

Stupeň polynómu p(x) je najvyšší exponent x s nenulovým koeficientom. Nulový polynóm p(x) = 0 sa niekedy označuje ako polynóm stupňa −1. Stupeň polynómu sa niekedy označuje deg p(x).

Súčin a súčet polynómov

Nech sú dané polynómy v zmysle vyššie uvedenej definície: ${\displaystyle p(x)=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}x^{i}}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n}}$ ${\displaystyle g(x)=\sum _{i=0}^{n}{b_{i}x^{i}}=b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+\cdots +b_{n}x^{n}}$

Súčet polynómov je definovaný (pre ${\displaystyle n\leq m}$) ${\displaystyle f(x)+g(x)=(a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})+...+(a_{n}+b_{n})x^{n}+b_{n+1}x^{n+1}+...+b_{m}x^{m}}$,

Súčin polynómov je definovaný ${\displaystyle f(x)g(x)=a_{0}b_{0}+(a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0})x+(a_{0}b_{2}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{0})x^{2}+...+a_{n}b_{m}x^{n+m}=\sum _{i=0}^{n}\sum _{j=0}^{m}a_{j}b_{j}x^{i+j}}$

Koreň polynómu

Číslo ${\displaystyle \alpha }$ sa nazýva koreň polynómu ${\displaystyle p(x)}$, ak platí

${\displaystyle p(\alpha )=0}$

Táto skutočnosť, spoločne so základnou vetou algebry, sa využíva pri riešení algebraických rovníc.

Léma

Nech ${\displaystyle c}$ je číslo a nech ${\displaystyle z}$ je zvyšok po delení ${\displaystyle f(x)}$ polynómom ${\displaystyle x-c}$. Potom ${\displaystyle z=f(c)}$.

Dôsledok

Polynóm ${\displaystyle f(x)}$ je delitelný polynómom ${\displaystyle x-c}$ práve vtedy, keď ${\displaystyle c}$ je koreň polynómu ${\displaystyle f(x)}$.

Príklady polynómov

• ${\displaystyle p(x)=0}$ je tzv. nulový polynóm, teda polynóm, ktorý má všetky koeficienty nulové, čiže ${\displaystyle a_{i}=0,i=0,1,2,...}$
• ${\displaystyle p(x)=4}$ je polynóm nultého stupňa (konštanta)
• ${\displaystyle p(x)=2x+3}$ je polynóm 1. stupňa (lineárny polynóm)
• ${\displaystyle p(x)=3x^{2}+2x-2}$ je polynóm 2. stupňa (kvadratický polynóm)
• ${\displaystyle p(x)=3x^{3}-8x}$ je polynóm 3. stupňa (kubický polynóm)

Externé odkazy

• Kalkulačka pre výpočet reálnych koreňov polynómu