Superfaktoriál

V matematike, konkrétne v teórii čísel, sa pojmom superfaktoriál prirodzeného čísla ${\textstyle n}$ označuje súčin (produkt) všetkých faktoriálov od ${\textstyle n}$ po ${\textstyle 1}$. Superfaktoriál sa zvyčajne označuje ako ${\textstyle sf(n)}$. Napríklad

${\displaystyle sf(5)=5!\cdot 4!\cdot 3!\cdot 2!\cdot 1!=120\cdot 24\cdot 6\cdot 2\cdot 1=34560}$.

Definícia

Superfaktoriál je možné definovať viacerými spôsobmi

${\displaystyle {\begin{aligned}sf(n)&=\prod _{i=1}^{n}i!=1!\cdot 2!\cdot \dots \cdot (n-1)!\cdot n!\\&=\prod _{i=1}^{n}i^{n+1-i}=1^{n}\cdot 2^{n-1}\cdot \dots \cdot (n-1)^{2}\cdot n^{1}\\&=n!\cdot sf(n-1)\\\end{aligned}}}$

kde ${\textstyle n\in \{0,\mathbb {N} \}}$.

Superfaktoriál čísla ${\textstyle 0}$ (podobne ako hyperfaktoriál) je podľa obvyklej konvencie pre prázdny súčin definovaný ako

${\displaystyle sf(0)=1}$.[1]

Referencie

1. https://oeis.org/A000178