PSL(2,7)

В математике проективная специальная линейная группа PSL(2, 7) (изоморфная GL(3, 2)) — это конечная простая группа, имеющая важные приложения в алгебре, геометрии и теории чисел. Она является группой автоморфизмов квартики Клейна^[англ.], а также группой симметрии плоскости Фано. Имея 168 элементов, PSL(2, 7) является второй по величине из самых маленьких неабелевых простых групп (первой является знакопеременная группа A₅ на пяти буквах и имеющая 60 элементов — группа вращений икосаэдральной симметрии) .

Определение

Полная линейная группа GL(2, 7) состоит из всех обратимых 2×2 матриц над F₇, конечным полем из семи элементов, то есть имеющих ненулевые определители. Подгруппа SL(2, 7) состоит из всех матриц с единичным определителем. Таким образом, PSL(2, 7) является факторгруппой

SL(2, 7)/{I, −I},

полученной отождествлением I и −I, где I — единичная матрица. В данной статье мы подразумеваем под G любую группу, изоморфную PSL(2, 7).

Свойства

G = PSL(2, 7) имеет 168 элементов. Это можно видеть, посчитать возможные столбцы. Имеется 7^2−1 = 48 возможностей для первого столбца, 7^2−7 = 42 возможностей для второго столбца. Мы должны разделить на 7−1 = 6, чтобы добиться равенства определителя единице, а затем мы должны разделить на 2, когда мы отождествляем I и −I. Результат равен (48×42)/(6×2) = 168.

Общеизвестно, что PSL(n, q) является простой для n, q ≥ 2 (где q — некоторая степень простого числа), если не (n, q) = (2, 2) или (2, 3). PSL(2, 2) изоморфна симметрической группе S₃, и PSL(2, 3) изоморфна знакопеременной группе A₄. Фактически, PSL(2, 7) является второй по величине из неабелевых простых групп после знакопеременной группы A₅ = PSL(2, 5) = PSL(2, 4).

Число классов сопряжённости и число неприводимых представлений равно 6. Число классов равно 1, 21, 42, 56, 24, 24. Размерности неприводимых представлений равны 1, 3, 3, 6, 7, 8.

Таблица характеров

${\displaystyle {\begin{array}{r|cccccc}&1A_{1}&2A_{21}&4A_{42}&3A_{56}&7A_{24}&7B_{24}\\\hline \chi _{1}&1&1&1&1&1&1\\\chi _{2}&3&-1&1&0&\sigma &{\bar {\sigma }}\\\chi _{3}&3&-1&1&0&{\bar {\sigma }}&\sigma \\\chi _{4}&6&2&0&0&-1&-1\\\chi _{5}&7&-1&-1&1&0&0\\\chi _{6}&8&0&0&-1&1&1\\\end{array}},}$

где:

${\displaystyle \sigma ={\frac {-1+i{\sqrt {7}}}{2}}.}$

Следующая таблица описывает классы сопряжённости в терминах порядка элементов в классах, числа классов, минимальный многочлен всех представлений в GL(3, 2) и запись функции для представления в PSL(2, 7).

Порядок	Размер	Мин. Полином	Функция
1	1	x+1	x
2	21	x^2+1	−1/x
3	56	x^3+1	2x
4	42	x^3+x^2+x+1	1/(3−x)
7	24	x^3+x+1	x + 1
7	24	x^3+x^2+1	x + 3

Порядок группы равен 168=3*7*8, откуда следует существование подгрупп Силова порядков 3, 7 и 8. Легко описать первые две — они циклические, поскольку любая группа с простым порядком циклическая. Любой элемент класса сопряжённости 3A₅₆ образует силовскую 3-подгруппу. Любой элемент классов сопряжённости 7A₂₄, 7B₂₄ образует силовскую 7-подгруппу. Силовская 2-подгруппа является диэдральной группой порядка 8. Её можно описать как централизатор любого элемента из класса сопряжённости 2A₂₁. В представлении GL(3, 2) силовская 2-подгруппа состоит из верхних треугольных матриц.

Эта группа и её силовская 2-подгруппа дают контрпример для различных теорем о нормальном p-дополнении^[англ.] для p = 2.

Действия на проективные пространства

G = PSL(2, 7) действует посредством дробно-линейного преобразования на проективную прямую P^1(7) над полем из 7 элементов:

Для ${\displaystyle \gamma ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\mbox{PSL(2, 7)}}}$ и ${\displaystyle x\in \mathbf {P} ^{1}(7),\ \gamma \cdot x={\frac {ax+b}{cx+d}}}$

Каждый сохраняющий ориентацию автоморфизм прямой P^1(7) получается таким способом, а тогда, G = PSL(2, 7) можно понимать геометрически как группу симметрий проективной прямой P^1(7). Полная группа возможных автоморфизмов, сохраняющих ориентацию, является расширением порядка 2 группы PGL(2, 7) и группа колинеаций^[англ.] проективной прямой является полной симметрической группы точек.

Однако PSL(2, 7) также изоморфна группе PSL(3, 2) (= SL(3, 2) = GL(3, 2)), специальной (общей) линейной группе 3×3 матриц над полем с 2 элементами. Подобным же образом G = PSL(3, 2) действует на проективную плоскость P^2(2) над полем с 2 элементами, известную также как плоскость Фано:

Для ${\displaystyle \gamma ={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}\in {\mbox{PSL}}(3,2)}$ и ${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbf {P} ^{2}(2),\ \gamma \ \cdot \ \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}ax+by+cz\\dx+ey+fz\\gx+hy+iz\end{pmatrix}}}$

Снова любой автоморфизм P^2(2) получается таким образом, а тогда G = PSL(3, 2) можно геометрически понимать как группу симметрии этой проективной плоскости. Плоскость Фано можно описать как произведение октонионов.

Симметрии квартики Клейна

Подробное рассмотрение темы: Квартика Клейна

Квартика Клейна^[англ.] может быть реализована как факторпространство семиугольной мозаики порядка 3

Квартика Клейна^[англ.] может быть реализована также как факторпространство семиугольной мозаики порядка 3

Квартика Клейна^[англ.] является проективным многообразием над комплексными числами C, определённое многочленом четвёртой степени

x^3y + y^3z + z^3x = 0.

Оно является компактной римановой поверхностью рода g = 3 и является единственной такой поверхностью, для которой размер конформной группы автоморфизмов достигает максимума 84(g−1). Эта граница возникает вследствие теоремы Гурвица об автоморфизмах, которая выполняется для всех g>1. Такие "поверхности Гурвица" редки. Следующий род, для которого такая поверхность существует, это g = 7, а следующий за ним — g = 14.

Как и для всех поверхностей Гурвица, квартикам Клейна можно задать метрику постоянной отрицательной кривизны и затем замостить правильными (гиперболическими) семиугольниками, как факторпространство семиугольной мозаики порядка 3. Для квартики Клейна это даёт мозаику из 24 семиугольников. Двойственно, она может быть замощена 56 равносторонними треугольниками с 24 вершинами, каждая 7-го порядка, как факторпространство треугольной мозаики порядка 7^[англ.].

Квартика Клейна возникает во многих областях математики, включая теорию представлений, теории гомологий, умножении октонионов, великую теорему Ферма.

Группа Матьё

PSL(2, 7) является максимальной подгруппой группы Матьё M₂₁. Группы Матьё M₂₁ и M₂₄ могут быть построены как расширения PSL(2, 7). Эти расширения можно интерпретировать в терминах мозаик квартики Клейна, но нельзя реализовать геометрическими симметриями мозаик [1].

Действия группы

PSL(2, 7) действует на различные множества:

• Если интерпретировать её как линейные автоморфизмы проективной прямой над F₇, она действует 2-транзитивно на множество из 8 точек со стабилизатором порядка 3. (PGL(2, 7) действует строго 3-транзитивно с тривиальным стабилизатором.)
• Если интерпретировать её как автоморфизмы мозаики квартики Клейна, она действует транзитивно на 24 вершины (или, двойственно, на 24 семиугольника) со стабилизатором порядка 7 (соответствующего вращению вокруг вершины/семиугольника).
• Если интерпретировать её как подгруппу группы Матьё M₂₁, действующей на 21 точку, она не действует транзитивно на 21 точку.

Примечания

1. Richter.

Литература

• David A. Richter. How to Make the Mathieu Group M₂₄.

Для дальнейшего чтения

• Ezra Brown, Nicholas Loehr. Why is PSL (2,7)≅ GL (3,2)? // Am. Math. Mon.. — 2009. — Т. 116, вып. 8. — С. 727–732. — doi:10.4169/193009709X460859.

Ссылки

• The Eightfold Way: the Beauty of Klein's Quartic Curve (Silvio Levy, ed.)
• This Week's Finds in Mathematical Physics - Week 214 (John Baez)
• The Klein Quartic in Number Theory (Noam Elkies)
• Projective special linear group:PSL(3,2)