Цилиндрические параболические координаты

Координатные поверхности в координатах параболического цилиндра.

Цилиндрические параболические координаты (координаты параболического цилиндра) ${\displaystyle (u,\;v,\;z)}$ — система координат, обобщающая параболические координаты на трёхмерный случай путём добавления третьей (декартовой) координаты ${\displaystyle \ z}$, то есть аппликаты.

Существует несколько вариантов ориентации этих координат. Наиболее распространённой является ориентация, соответствующая

${\displaystyle {\begin{cases}x={\dfrac {c}{2}}(u^{2}-v^{2}),\\y=cuv,\\z=z,\end{cases}}}$

где ${\displaystyle c>0}$ — размерный множитель.

Поверхности уровня ${\displaystyle u=\mathrm {const} }$ и ${\displaystyle v=\mathrm {const} }$ суть параболические цилиндры, образующие которых параллельны оси ${\displaystyle z}$.

Связь с другими системами координат

Прямоугольная система координат ${\displaystyle (x,\;y,\;z)}$

${\displaystyle {\begin{cases}x={\dfrac {c}{2}}(u^{2}-v^{2}),\\y=cuv,\\z=z,\end{cases}}}$

Цилиндрическая система координат ${\displaystyle (\rho ,\;\varphi ,\;z)}$

${\displaystyle {\begin{cases}\rho ={\dfrac {c}{2}}(u^{2}+v^{2}),\\\varphi =\mathrm {arctg} \left({\dfrac {2uv}{u^{2}-v^{2}}}\right),\\z=z.\end{cases}}}$

Коэффициенты Ламе

Коэффициенты Ламе в данных координатах имеют следующий вид:

${\displaystyle {\begin{cases}H_{u}=c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}},\\H_{v}=c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}},\\H_{z}=1.\end{cases}}}$

Выражение основных дифференциальных операторов

Градиент

${\displaystyle \mathrm {grad} \,F(u,\;v,\;z)={\frac {1}{c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}}}\left({\frac {\partial F}{\partial u}}{\vec {e}}_{u}+{\frac {\partial F}{\partial v}}{\vec {e}}_{v}\right)+{\frac {\partial F}{\partial z}}{\vec {e}}_{z}.}$

Дивергенция

${\displaystyle \mathrm {div} {\vec {A}}(u,\;v,\;z)={\frac {1}{c(u^{2}+v^{2})}}\left[{\frac {\partial }{\partial u}}\left({\sqrt {u^{2}+v^{2}}}A_{u}\right)+{\frac {\partial }{\partial v}}\left({\sqrt {u^{2}+v^{2}}}A_{v}\right)\right]+{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}.}$

Ротор

${\displaystyle \mathrm {rot} \,{\vec {A}}={\frac {1}{c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}}}\left[{\frac {\partial }{\partial v}}A_{z}-{\frac {\partial }{\partial z}}(c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}A_{v})\right]{\vec {e}}_{u}+{\frac {1}{c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}}}\left[{\frac {\partial }{\partial z}}(c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}A_{u})-{\frac {\partial }{\partial u}}A_{z}\right]{\vec {e}}_{v}+}$

${\displaystyle +{\frac {1}{c(u^{2}+v^{2})}}\left[{\frac {\partial }{\partial u}}(c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}A_{v})-{\frac {\partial }{\partial v}}(c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}A_{u})\right]{\vec {e}}_{z}.}$

Лапласиан

${\displaystyle \Delta F(u,\;v,\;z)={\frac {1}{c^{2}(u^{2}+v^{2})}}\left[{\frac {\partial ^{2}F}{\partial u^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial v^{2}}}\right]+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial z^{2}}}.}$

См. также

• Прямоугольная (Декартова) система координат
• Аффинная (косоугольная) система координат
• Координаты Риндлера — в пространстве Минковского
• Барицентрические координаты
• Биангулярные координаты
• Полярная система координат
• Цилиндрическая система координат
• Сферическая система координат
• Тороидальная система координат
• Цилиндрические параболические координаты
• Параболические координаты
• Бицентрические координаты
• Биполярные координаты
• Бицилиндрические координаты
• Биангулярные координаты
• Трилинейные координаты
• Проективные координаты
• Эллипсоидальные координаты (эллиптические координаты)
• Конические координаты

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Parabolic Cylindrical Coordinates (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.