Координаты Борна

Координаты Борна в специальной теории относительности — система координат, применяемая для описания вращающейся окружности или (в более общем смысле) диска.

Вращение окружности в специальной теории относительности

В неподвижной системе отсчёта окружность описывается двумя координатами ${\displaystyle (T,\Phi )}$, в которых метрика имеет вид

${\displaystyle ds^{2}=dT^{2}-R^{2}\,d\Phi ^{2},}$

где ${\displaystyle R}$ — радиус окружности, а скорость света полагается равной единице.

Вращение окружности описывается формулой

${\displaystyle \Phi =\varphi +\omega T,}$

где ${\displaystyle \Phi }$ — угловая координата в пространстве, ${\displaystyle \varphi }$ — положение точки на окружности, ${\displaystyle \omega }$ — круговая частота, а T — время неподвижной системы отсчёта.

Если мы рассмотрим одну точку окружности (то есть зафиксируем ${\displaystyle \varphi }$), то её мировая линия будут представлять собой винтовую линию. Собственное время точек окружности определяется как

${\displaystyle {\sqrt {1-\omega ^{2}R^{2}}}\,T.}$

Координатами Борна на окружности называется система координат ${\displaystyle (T,\varphi )}$. Эти две координаты не являются ортогональными.

Метрика будет выглядеть как

${\displaystyle ds^{2}=(1-\omega ^{2}R^{2})\,dT^{2}-2\omega R^{2}\,dT\,d\varphi -R^{2}\,d\varphi ^{2}.}$

Вращение диска в специальной теории относительности

Пространственно-временная геометрия координат Борна на диске. Красные кривые — мировые линии точек диска (фиксированы ${\displaystyle r,\varphi }$). Чередующиеся синие и серые полосы показывают изменение ${\displaystyle T}$. Оранжевые кривые (/ \) — светоподобные кривые с постоянным ${\displaystyle r}$. Внизу справа — трёхмерное изображение. Сверху — развёртки цилиндров для трёх разных ${\displaystyle r}$, повёрнутые так, чтобы направление собственного времени стало вертикальным.

Основная статья: Парадокс Эренфеста

Если рассмотреть равномерно вращающийся, как единое целое, диск (то есть круг), то добавляется третья координата ${\displaystyle r}$.

При этом ${\displaystyle \omega }$ по-прежнему постоянно.

В таком случае множители будут зависеть от радиуса ${\displaystyle r}$.

Метрика будет выглядеть как

${\displaystyle ds^{2}=(1-\omega ^{2}r^{2})\,dT^{2}-2\omega r^{2}\,dT\,d\varphi -dr^{2}-r^{2}\,d\varphi ^{2}.}$

На рисунке видно, как с возрастанием ${\displaystyle r}$ и приближением линейной скорости вращения к световой система из двух координат ${\displaystyle (T,\varphi )}$ становятся всё менее похожа на ортогональную.

Скорость света относительно «времени» ${\displaystyle T}$ по ходу вращения уменьшается, а против вращения — возрастает.

Разумеется, радиус диска не может превосходить ${\displaystyle c/\omega }$, поскольку на этом удалении от оси вращения такая вращающаяся система отсчёта разгоняется до световой скорости.

Определение расстояний и времён

Проблемы с вращающимися координатами

Вращающаяся система отсчёта не является инерциальной и вызывает много проблем даже при поверхностном рассмотрении.

Как было показано, две координаты ${\displaystyle (T,\;\varphi )}$ не ортогональны даже на одной окружности, причём это неустранимый недостаток — если мы синхронизуем время сразу по всей окружности с помощью скорости света, то система отсчёта не будет вращаться, а если отказаться от ${\displaystyle T}$, синхронизуя время лишь на куске окружности, то единая временная координата «не склеится»[1]. На диске дело обстоит ещё хуже — часы не синхронизуются даже локально (см. эффект Саньяка).

К тому же, при исчислении собственного времени координату ${\displaystyle T}$ приходится умножать на коэффициент уже не постоянный (как на окружности), а переменный, зависящий от ${\displaystyle r}$. Диск, оставаясь твёрдым, имеет разную скорость течения времени в зависимости от расстояния до оси вращения.

Из-за проблем со временем не совсем понятно как определять расстояние — некоторые определения не приводят к симметричной функции расстояния между двумя точками диска. А не зная расстояний, мы не можем проверить, что диск вращается как твёрдое тело.

Метрика Ланжевена — Ландау — Лифшица

Тем не менее, оказывается возможным корректно определить расстояние на вращающемся диске в смысле римановой метрики.

То есть, естественная геометрия вращающегося диска не является евклидовой.

См. также

• Координаты Риндлера

Примечания

1. Строго говоря, из этого следует, что мы не можем идеально синхронизовать часы даже на всей поверхности Земли, так как планета вращается. Эффект разницы скорости света с востока на запад и с запада на восток относительно земного времени подтверждается сверхточными измерениями.

Литература

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — Издание 4-е, исправленное и дополненное. — М.: Физматгиз, 1962. — 424 с. — («Теоретическая физика», том II).