Факториальное кольцо

Факториа́льное кольцо́ — нётерова область целостности, в которой всякий неприводимый элемент является простым. Факториальные кольца часто называются гауссовыми в честь Гаусса.

Определение

Менее формально, факториальное кольцо определяется как область целостности ${\displaystyle R}$, в которой каждый ненулевой элемент ${\displaystyle x}$ можно записать в виде произведения неприводимых элементов ${\displaystyle p_{i}}$ и обратимого элемента ${\displaystyle u}$:

${\displaystyle x=u\cdot p_{1}\cdot ...\cdot p_{n}}$;

при этом в случае, если ${\displaystyle x}$ обратим, то ${\displaystyle n=0}$, то есть произведение вырождается до одного множителя. И это разложение единственно в следующем смысле: если ${\displaystyle q_{1},...,q_{m}}$ — неприводимые элементы ${\displaystyle R}$ и ${\displaystyle w}$ — обратимый элемент, такие что

${\displaystyle x=w\cdot q_{1}\cdot ...\cdot q_{m}}$,

то ${\displaystyle m=n}$ и существует биективное отображение ${\displaystyle \varphi :\{1,...,n\}\rightarrow \{1,...,m\}}$ такое что ${\displaystyle p_{i}}$ — элемент, ассоциированный с ${\displaystyle q_{\varphi (i)}}$ для ${\displaystyle i\in \{1,...,n\}}$.

Примеры

• Все евклидовы кольца, в частности, кольцо целых чисел (см. основная теорема арифметики) и кольцо гауссовых целых чисел.
• Если ${\displaystyle R}$ факториально, то и кольцо многочленов ${\displaystyle R[x]}$ факториально, отсюда следует, что и кольцо ${\displaystyle R[x_{1},...,x_{n}]}$ факториально.
• Теорема Аусландера — Буксбаума: каждое регулярное локальное кольцо является факториальным.
• Кольцо формальных степенных рядов над областью главных идеалов является факториальным.
• Пусть ${\displaystyle R}$ — поле характеристики не 2. Клейн и Нагата показали, что ${\displaystyle R[x_{1},...,x_{n}]/Q}$ факториально, если ${\displaystyle Q}$ — невырожденная квадратичная форма и n не меньше пяти.
• Локализация факториального кольца факториальна. Более того, подходящей локализацией и из нефакториального кольца можно получить факториальное кольцо. Например, кольцо ${\displaystyle \mathbb {\mathbb {Z} } [{\sqrt {-3}}]}$ не факториально (так как ${\displaystyle (1+{\sqrt {-3}})\cdot (1-{\sqrt {-3}})=4=2\cdot 2}$), а его локализация ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-3}},1/2]}$ факториальна.

Эквивалентные формулировки

Пусть ${\displaystyle R}$ — целостное кольцо. Следующие утверждения эквивалентны:

• ${\displaystyle R}$ факториально.
• Каждый ненулевой простой идеал ${\displaystyle R}$ содержит простой элемент, то есть такой элемент, что главный идеал, порожденный этим элементом, прост.
• ${\displaystyle R}$ — кольцо Крулля, в котором каждый дивизорный идеал главный (так определяется факториальное кольцо у Бурбаки).
• ${\displaystyle R}$ — кольцо Крулля и каждый простой идеал, не содержащий других ненулевых простых идеалов, главный.

Свойства факториальных колец

1. В факториальных кольцах корректно определены понятия наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного любого конечного набора элементов, а также понятие взаимной простоты элементов.

2. Лемма о совместной делимости. Если элемент ${\displaystyle N}$ факториального кольца делится на каждый из элементов ${\displaystyle a_{1}}$, ${\displaystyle a_{2}}$, … ,${\displaystyle a_{k}}$, причём эти элементы попарно взаимно просты, тогда ${\displaystyle N}$ делится на их произведение.

3. Если ${\displaystyle N^{n}=a_{1}a_{2}\dots a_{k}}$, причём элементы ${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{k}}$ попарно взаимно просты, тогда каждое из них имеет вид ${\displaystyle a_{i}=u_{i}b_{i}^{n}}$, где ${\displaystyle u_{i}}$ — обратимые элементы кольца.

4. Любую дробь ${\displaystyle a/b}$, составленную из элементов факториального кольца, можно записать в несократимом виде, то есть существуют взаимно простые элементы ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ (однозначно определённые с точностью до ассоциирования), такие что ${\displaystyle a/b=p/q}$.

5. Теорема Гаусса. Если дробь ${\displaystyle a/b}$ является корнем многочлена ${\displaystyle x^{n}+c_{1}x^{n-1}+\dots +c_{n}}$ со старшим коэффициентом, равным 1 (элементы ${\displaystyle a,b}$, а также все коэффициенты многочлена — элементы факториального кольца ${\displaystyle R}$), тогда ${\displaystyle a/b}$ лежит в ${\displaystyle R}$, то есть ${\displaystyle a}$ делится на ${\displaystyle b}$ в кольце ${\displaystyle R}$. (Данное свойство кольца называется целозамкнутостью).

Литература

• Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. — М.: Мир, 1971.
• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Наука, 1975.
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — М.: ИЛ, 1963. — Т. 1.
• Ленг С. Алгебра. — Мир, 1967.