Нётерово кольцо

Нётерово кольцо́ — тип колец, обобщение кольца главных идеалов. Названы в честь Эмми Нётер.

Определение

Нётерово кольцо — ассоциативное кольцо с единичным элементом, в котором выполняется следующее условие обрыва возрастающих цепей:

всякая последовательность идеалов (для некоммутативных колец — левых идеалов) ${\displaystyle p_{1}\subset p_{2}\subset \dots \subset p_{n}\subset \dots }$ стабилизируется, то есть ${\displaystyle p_{n}=p_{n+1}=\dots ,}$ начиная с некоторого ${\displaystyle n}$.

Замечания

• Если в определении заменить возрастающие цепи на убывающие, то получается определение артинова кольца.

Примеры

• Поле, поскольку в нём всего два идеала — ${\displaystyle \{0\}}$ и само поле.
• Кольцо главных идеалов.
  • Например, кольцо многочленов от одной переменной над полем. (Однако не всякое нётерово кольцо является кольцом главных идеалов.)
• Кольца многочленов от конечного числа переменных над полем являются нётеровыми (но не являются кольцами главных идеалов при числе переменных, большем 1).

Свойства

• Кольцо нётерово тогда и только тогда, когда в любом непустом множестве идеалов ${\displaystyle A}$ существует максимальный элемент.
• Кольцо нётерово тогда и только тогда, когда любой идеал конечно порождён.
• Теорема Гильберта о базисе: для любого нётерова кольца ${\displaystyle A}$ кольцо многочленов ${\displaystyle A[x]}$ — нётерово.
  • В частности, ${\displaystyle A[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ тоже нётерово.
• В коммутативных нётеровых кольцах верна теорема Ласкера — Нётер, согласно которой любой идеал ${\displaystyle A}$ допускает примарное разложение.

См. также

• Нётеров модуль
• Топология Зарисского

Литература

• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру, — М.: Мир, 1972.
• Зарисский О., Самюэль Р. Коммутативная алгебра, — М.: ИЛ, 1963.
• Ленг С. Алгебра, — М.: Мир, 1968.