Регулярное локальное кольцо

Регулярное локальное кольцо — нётерово локальное кольцо, такое что число образующих его максимального идеала совпадает с размерностью Крулля. Название регулярное объясняется геометрическими причинами. Точка ${\displaystyle x}$ алгебраического многообразия ${\displaystyle X}$ является неособой (регулярной) тогда и только тогда, когда локальное кольцо ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$ ростков рациональных функций в точке ${\displaystyle x}$ регулярно.

Эквивалентные определения

Существует несколько полезных определений регулярного локального кольца. В частности, если ${\displaystyle A}$ — нётерово локальное кольцо с максимальным идеалом ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$, следующие определения эквивалентны:

• Пусть ${\displaystyle {\mathfrak {m}}=(a_{1},\ldots ,a_{n})}$ где ${\displaystyle n}$ выбрано настолько малым, насколько это возможно (в любом случае, n не может быть меньше размерности Крулля). ${\displaystyle A}$ регулярно, если

${\displaystyle {\mbox{dim }}A=n.}$

• Пусть ${\displaystyle k=A/{\mathfrak {m}}}$ — поле вычетов кольца ${\displaystyle A}$. Тогда ${\displaystyle A}$ регулярно, если

${\displaystyle \dim _{k}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}=\dim A}$,

Здесь первая размерность — размерность векторного пространства, а вторая — размерность Крулля.

• Пусть ${\displaystyle {\mbox{gl dim }}A}$ — глобальная размерность ${\displaystyle A}$ (то есть супремум проективных размерностей всех ${\displaystyle A}$-модулей.) Тогда ${\displaystyle A}$ регулярно, если

${\displaystyle {\mbox{gl dim }}A<\infty }$,

в этом случае ${\displaystyle {\mbox{gl dim }}A}$ всегда совпадает с размерностью Крулля.

Примеры

• Любое поле — регулярное локальное кольцо. На самом деле, поля — это в точности регулярные локальные кольца размерности 0.
• Регулярные локальные кольца размерности 1 — это в точности кольца дискретного нормирования. В частности, кольцо формальных степенных рядов ${\displaystyle k[[x]]}$ (k — произвольное поле) является регулярным локальным кольцом. Другой пример — кольцо p-адических чисел.
• Более общо, кольцо формальных степенных рядов ${\displaystyle k[[x_{1},x_{2},\cdots ,x_{d}]]}$ — регулярное локальное кольцо размерности d.
• Если A — регулярное кольцо (см. определение ниже), то кольцо многочленов ${\displaystyle A[x]}$ и кольцо формальных степенных рядов ${\displaystyle A[[x]]}$ регулярны.
• Любая локализация регулярного кольца регулярна. Например, ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]_{(2,x)}}$ — двумерное регулярное кольцо, не содержащее никакого поля.
• Пополнение^[англ.] регулярного кольца регулярно.

Свойства

Теорема Аусландера — Бухсбаума утверждает, что каждое регулярное локальное кольцо факториально.

Если ${\displaystyle (A,{\mathfrak {m}})}$ — полное регулярное локальное кольцо, содержащее некоторое поле, то

${\displaystyle A\cong k[[x_{1},\ldots ,x_{d}]]}$,

где ${\displaystyle k=A/{\mathfrak {m}}}$, а ${\displaystyle d}$ — размерность Крулля.

Происхождение основных определений

Определение регулярного локального кольца было дано Вольфгангом Круллем в 1937 году,[1] однако они стали известными благодаря работам Оскара Зарисского,[2][3] который доказал что регулярные локальные кольца соответствуют гладким точкам алгебраических многообразий. Пусть Y — алгебраическое многообразие, содержащееся в n-мерном аффинном пространстве над совершенным полем, задающееся как множество общих нулей многочленов (от n переменных) f₁,…,f_m. Y является особым в точке P, если ранг матрицы Якоби (матрицы (∂f_i/∂x_j)) в этой точке ниже, чем в другой точке многообразия. Размерность многообразия равна разности n и ранга матрицы Якоби в неособой точке. Зарисский доказал, что матрица Якоби точка P неособая тогда и только тогда, когда локальное кольцо многообразия Y в P регулярно. (Зарисский также заметил, что это не обязательно верно над несовершенными полями.) Из этого следует, что гладкость является внутренним свойством многообразия, то есть не зависит от конкретного вложения многообразия в аффинное пространство. В 1950-х годах Аусландер и Бухсбаум доказали, что регулярное локальное кольцо факториально.

Многие свойства локальных колец оставались недоказанными до того времени, когда появились соответствующие техники гомологической алгебры. Жан-Пьер Серр нашёл описание регулярных локальных колец в гомологических терминах: локальное кольцо A регулярно тогда и только тогда, когда оно имеет конечную глобальную размерность. Нетрудно доказать, что свойство конечности глобальной размерности остаётся неизменным при локализации. Это позволяет определить регулярность для всех колец, не обязательно локальных: кольцо A называется регулярным, если его локализация по произвольному простому идеалу — регулярное локальное кольцо. Это эквивалентно утверждению, что A имеет конечную глобальную размерность. В частности, все дедекиндовы кольца регулярны.

Примечания

1. Krull, Wolfgang (1937), "Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche III", Math. Z.: 745—766
2. Zariski, Oscar (1940), "Algebraic varieties over ground fields of characteristic 0", Amer. J. Math., 62: 187—221
3. Zariski, Oscar (1947), "The concept of a simple point of an abstract algebraic variety", Trans. Amer. Math. Soc., 62: 1—52

Литература

• Jean-Pierre Serre, Local algebra, Springer-Verlag, 2000 — ISBN 3-540-66641-9. Chapter IV.D.