Гомологическая алгебра

Гомологическая алгебра — ветвь алгебры, изучающая алгебраические объекты, заимствованные из алгебраической топологии.

Гомологическая алгебра играет важную роль в алгебраической топологии, применяется во многих разделах алгебры, таких, как теория групп, теория алгебр, алгебраическая геометрия, теория Галуа.

История

Первыми гомологические методы в алгебре применили в 40-х годах XX века Дмитрий Константинович Фаддеев, Самуэль Эйленберг и Саундерс Маклейн при изучении расширений групп.

Цепной комплекс

Основная статья: Цепной комплекс

Цепной комплекс — это градуированный модуль ${\displaystyle M=\bigoplus \limits _{n=0}^{\infty }M_{n}}$ с дифференциалом ${\displaystyle d:M\to M}$, ${\displaystyle d^{2}=0}$, понижающим градуировку для цепного комплекса, ${\displaystyle d(M_{n})\subset M_{n-1}}$, или повышающим градуировку для коцепного комплекса, ${\displaystyle d(M_{n})\subset M_{n+1}}$.

Одним из основных понятий гомологической алгебры является цепной комплекс. Цепные комплексы возникают в различных разделах математики: в алгебраической топологии, коммутативной алгебре, алгебраической геометрии. Изучение общих свойств комплексов — одна из основных задач гомологической алгебры.

Резольвента

Основная статья: Резольвента (гомологическая алгебра)

Проективной резольвентой модуля ${\displaystyle A}$, называется левый комплекс ${\displaystyle \ldots \longrightarrow X_{n}{\stackrel {d_{n}}{\longrightarrow }}X_{n-1}\longrightarrow \ldots {\stackrel {d_{1}}{\longrightarrow }}X_{0}{\stackrel {\varepsilon }{\longrightarrow }}A\longrightarrow 0}$, в котором все ${\displaystyle X_{n}}$ проективны и гомологии которого равны нулю, кроме нулевых.

Проективные резольвенты используются для вычисления функторов Tor_n(A, C) и Ext^n(A, C). Резольвенты возникли в алгебраической топологии для вычисления гомологий топологического произведения по гомологиям сомножителей по формуле Кюннета.

Производные функторы

Литература

• А. Картан, С. Эйленберг, «Гомологическая алгебра», 1960 год.
• С. Маклейн, «Гомология», 1966 год.
• Р. Годеман «Алгебраическая топология и теория пучков», 1961 год.
• Бурбаки, «Гомологическая алгебра», 1987 год.