Теория абелевых групп

Абелевы группы^[уточнить]

Теория абелевых групп — раздел общей алгебры, изучающий коммутативные (абелевы) группы.

Хотя теорию абелевых групп можно рассматривать часть общей теории групп, однако уже на ранних этапах её развития (в 1940-е — 1950-е годы) стало ясно, что аппарат и методология теории абелевых групп в корне отличается от общих средств теории групп, что и привело к выделению теории в самостоятельную ветвь алгебры. Самостоятельность теории абелевых групп в рамках общей алгебры сохраняется и по состоянию на начало XXI века, хотя многие алгебраисты относят её как числу разделов общей теории модулей.

История

Коммутативные группы абелевыми впервые назвал Жордан в честь норвежского математика Нильса Хенрика Абеля, поскольку Абель доказал, что корни многочлена выражаются в радикалах в случае, когда группа многочлена является коммутативной.

Систематическое изучение абелевых групп началось только в XX веке. Первые работы по абелевым группам относятся к 1917—1925 годам и принадлежат Леви (нем. Friedrich Wilhelm Levi)[1] и Прюферу[2][3][4][5]. К начальному этапу изучения абелевых групп также относятся труды Ульма (англ. Helmut Ulm)[6][7], Бэра (нем. Reinhold Baer)[8][9], Понтрягина[10], Куроша[11][12] и Мальцева[13].

В 1940-е годы интерес к абелевым группам был менее высок, чем в предыдущие и последующие годы. Однако именно в этот период произошло выделение теории абелевых групп в самостоятельное направление общей алгебры, во многом это произошло благодаря работам Куликова[14][15].

Изучение абелевых групп в 1950-е — 1970-е годы шло, в основном, под эгидой периодических и примарных групп и под существенным влияние бурно развивавшихся гомологической алгебры и категорного подхода. В конце этого периода выпущен ряд монографий, целиком посвященных абелевым группам, среди них — книги Капланского[16] и Фукса (венг. Fuchs László)[17], притом последняя переведена на несколько языков, выдержала четыре переиздания (последнее — в 2015 году) и считается настольной книгой специалиста по теории абелевых групп.

Во второй половине 1970-х годов интерес к примарным абелевым группам постепенно снизился, зато резко вырос интерес к абелевым группам без кручения. Во многом это объясняется существованием так называемых «аномальных» прямых разложений групп без кручения, впервые открытых Бьярни Йоунссоном (исл. Bjarni Jónsson)[18][19].

Охват

Теория отнесена в Математической предметной классификации ко второму уровню с кодом 20K в составе ветви теории групп. В ряде справочных изданий раздел относится к теории модулей[20], поскольку абелева группа является модулем над кольцом целых чисел, что означает справедливость для неё результатов общей теории модулей.

Основные классы объектов, изучаемые в теории:

• периодические абелевы группы,
• примарные абелевы группы,
• свободные абелевы группы,
• конечно порождённые абелевы группы,
• делимые абелевы группы,
• абелевы группы без кручения,
• смешанные абелевы группы,
• факторно делимые группы,
• группы Мёрли.

Примечания

1. F. W. Levi. Abelsche Gruppen mit abzählbaren Elementen. — Leipzig,: Habilitationsschrift, 1917.
2. H. Prüfer. Unendliche abelsche Gruppen von Elementen endlicher Ordnung. — Berlin, 1921. — (Dissertation).
3. H. Prüfer. Untersuchungen über die Zerlegbarkeit der abzählbaren primären abelschen Gruppen // Math. Z.. — 1923. — Т. 17. — С. 35—61.
4. H. Prüfer. Theorie der abelschen Gruppen, I, Grundeigenschaften // Math. Z.. — 1924. — Т. 20. — С. 165—187.
5. H. Prüfer. Theorie der abelischen Gruppen, II, Ideale Gruppen // Math. Z.. — 1925. — Т. 22. — С. 222—249.
6. H. Ulm. Zur Theorie der abzählbar-unendlichen Abelschen Gruppen // Math. Ann.. — 1933. — Т. 107, № 5. — С. 774—803.
7. H. Ulm. Zur Theorie der nicht-abzählbaren primären Abelschen Gruppen // Math. Ztschr.. — 1935. — Т. 40, № 2. — С. 205—207.
8. R. Baer. Abelian groups without elements of finite order // Duke Math. J.. — 1937. — Т. 3, № 1. — С. 68—122.
9. R. Baer. Abelian groups that are direct summands of every containing Abelian group, // Bull. Amer. Math. Soc.. — 1940. — Т. 46, № 10. — С. 800—806.
10. L. Pontryagin. The theory of topological commutative groups // Ann. of Math.. — 1934. — Т. 35, № 2. — С. 361—388.
11. A. G. Kurosh. Zür Zerlegung unendlicher Gruppen // Math. Ann.. — 1932. — Т. 106. — С. 107—113.
12. А. Г. Курош. Primitive torsionsfreie abelsche Gruppen vom endlichen Range // Ann. of Math.. — 1937. — Т. 38, № 2. — С. 175—203.
13. А. И. Мальцев. Абелевы группы конечного ранга без кручения // Матем. сб.. — 1938. — Т. 4 (46), № 1. — С. 45—68.
14. Л. Я. Куликов. К теории абелевых групп произвольной мощности // Математический сборник. — 1941. — № 1 . — С. 165—181.
15. Л. Я. Куликов. К теории абелевых групп произвольной мощности // Математический сборник. — 1945. — Т. 16, № 2. — С.  129—162.
16. I. Kaplansky. Infinite abelian groups. — Ann Arbor: The University of Michigan Press, 1954 (1969).
17. Л. Фукс. Бесконечные абелевы группы. — М.: Мир, 1974, 1977. — Т. 1, 2.
18. B. Jonsson. On direct decompositions of torsion free abelian groups // Math. Scand.. — 1957. — Т. 5. — С. 230—235.
19. B. Jonsson. On direct decompositions of torsion free abelian groups, II // Math. Scand.. — 1959. — Т. 7. — С. 361—371.
20. Общая алгебра, 1990, §4.5 Абелевы группы, с. 500—511.

Литература

• Скорняков Л. А., Шестаков И. П. . Глава III. Кольца и модули // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1990. — Т. 1. — С. 291—572. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6.