Несократимая дробь

В математике несократимая (приведённая) дробь — обыкновенная дробь вида ${\displaystyle \pm {\frac {m}{n}}}$, которую невозможно сократить. Другими словами, дробь несократима, если её числитель и знаменатель взаимно просты[1], то есть не имеют общих делителей, кроме ${\displaystyle \pm 1}$. Например, дробь ${\displaystyle {\frac {121}{90}}}$ несократима, а ${\displaystyle {\frac {120}{90}}}$ можно сократить: ${\displaystyle {\frac {120}{90}}={\frac {12}{9}}={\frac {4}{3}}.}$

Обыкновенные дроби

Каждое ненулевое рациональное число единственным образом может быть представлено в виде несократимой дроби вида ${\displaystyle {\frac {m}{n}},}$ где ${\displaystyle m}$ — целое число, а ${\displaystyle n}$ — натуральное. Это следует из основной теоремы арифметики. Если разрешить знаменателю ${\displaystyle n}$ быть отрицательным, то возможно второе несократимое представление:

${\displaystyle -{\frac {4}{5}}={\frac {-4}{5}}={\frac {4}{-5}}}$

Для приведения обыкновенной дроби ${\displaystyle \pm {\frac {m}{n}}}$ к несократимому виду надо разделить её числитель и знаменатель на наибольший общий делитель[2] НОД${\displaystyle (m,n).}$ Чтобы найти наибольший общий делитель, обычно используется алгоритм Евклида или разложение на простые множители.

Для целого числа n представлением в виде несократимой дроби является

${\displaystyle n={\frac {n}{1}}\ }$

Вариации и обобщения

Свойства несократимости, существующие для обыкновенных дробей, сохраняются для произвольного факториального кольца, то есть кольца, в котором справедлив аналог основной теоремы арифметики. Всякую дробь из элементов факториального кольца (с ненулевым знаменателем) можно представить в несократимом виде, причём однозначно с точностью до делителей единицы данного кольца.

Кольцо гауссовых чисел состоит из комплексных чисел вида ${\displaystyle a+bi,}$ где ${\displaystyle a,b}$ — целые числа. Делителей единицы четыре: ${\displaystyle 1;-1;i;-i.}$ Это кольцо факториально, и теория дробей для него строится аналогично целым числам, Например, несложно проверить[3], что дробь ${\displaystyle {\frac {4+2i}{4+7i}}}$ может быть сокращена до (уже несократимой) ${\displaystyle {\frac {2}{3+2i}}.}$

Многочлены с коэффициентами из некоторого кольца также образуют факториальное кольцо — кольцо многочленов. рациональные функции, то есть дроби, в числителях и знаменателях которых стоят многочлены. Делителями единицы здесь будут ненулевые числа (как многочлены нулевой степени). Неоднозначность представления можно устранить, потребовав, чтобы многочлен в знаменателе был приведённым.

Однако над произвольным кольцом элемент кольца частных, вообще говоря, не обязан иметь единственное, с точностью до делителей единицы, представление в виде несократимой дроби, поскольку основная теорема арифметики справедлива не во всяком кольце[4]. Рассмотрим, к примеру, комплексные числа вида ${\displaystyle a=m+in{\sqrt {5}}}$, где ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle n}$ — целые числа. Сумма и произведение таких чисел будут числами того же вида, поэтому они образуют кольцо. Однако оно не является факториальным, и представление дробей в несократимом виде неоднозначно, например:

${\displaystyle {\frac {6}{3(1+i{\sqrt {5}})}}={\frac {2}{1+i{\sqrt {5}}}}={\frac {1-i{\sqrt {5}}}{3}}}$

У второй и третьей дробей и числитель, и знаменатель — простые числа для указанного кольца, поэтому обе дроби несократимы.

Примечания

1. Гусев, Мордкович, 2013, с. 29—30.
2. Выгодский, 2006, с. 81—82.
3. Weisstein, Eric W. Irreducible Fraction (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
4. Жиков В.В. Основная теорема арифметики // Соросовский Образовательный Журнал. — 2000. — Т. 6, № 3. — С. 112—117. Архивировано 23 ноября 2018 года.

Литература

• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ, 2006. — 509 с. — ISBN 5-17-009554-6.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: учебно-справочное пособие. — М.: Астрель, 2013. — 671 с. — (Справочник школьника). — ISBN 978-5-271-07165-2.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Reduced Fraction (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.