Тождества Фирца

Тождества Фирца — тождества линейной алгебры, связывающие различные выражения в виде произведений матриц Паули, матриц Гелл-Манна и матриц Дирака, различающиеся между собой перестановкой индексов. Используются в теоретической физике.

Тождества Фирца для матриц Паули

${\displaystyle \delta _{b}^{a}\delta _{d}^{c}={\frac {1}{2}}\delta _{d}^{a}\delta _{b}^{c}+{\frac {1}{2}}\mathbf {\sigma } _{d}^{a}\mathbf {\sigma } _{b}^{c}}$

${\displaystyle \mathbf {\sigma } _{b}^{a}\mathbf {\sigma } _{d}^{c}={\frac {3}{2}}\delta _{d}^{a}\delta _{b}^{c}-{\frac {1}{2}}\mathbf {\sigma } _{d}^{a}\mathbf {\sigma } _{b}^{c}}$

Здесь и ниже ${\displaystyle \sigma _{i}}$ — матрицы Паули, ${\displaystyle \delta _{b}^{a}}$ — символ Кронекера,${\displaystyle \mathbf {\sigma } \mathbf {\sigma } =\sigma _{i}\sigma _{i},i=1,2,3}$[1].

Тождества Фирца для матриц Гелл-Манна

${\displaystyle \delta _{\beta }^{\alpha }\delta _{\delta }^{\gamma }={\frac {1}{3}}\delta _{\delta }^{\alpha }\delta _{\beta }^{\gamma }+{\frac {1}{2}}\mathbf {\lambda } _{\delta }^{\alpha }\mathbf {\lambda } _{\beta }^{\gamma }}$

${\displaystyle \mathbf {\lambda } _{\beta }^{\alpha }\mathbf {\lambda } _{\delta }^{\gamma }={\frac {16}{9}}\delta _{\delta }^{\alpha }\delta _{\beta }^{\gamma }-{\frac {1}{3}}\mathbf {\lambda } _{\delta }^{\alpha }\mathbf {\lambda } _{\beta }^{\gamma }}$

Здесь и ниже ${\displaystyle \lambda _{\delta }}$ — матрицы Гелл-Манна, ${\displaystyle \mathbf {\lambda } \mathbf {\lambda } =\lambda _{i}\lambda _{i},i=1,2,3,...8}$[2].

Тождества Фирца для матриц Дирака

${\displaystyle ({\bar {a}}O_{i}b)({\bar {c}}O^{i}d)=\sum _{k}C_{ik}({\bar {a}}O_{k}d)({\bar {c}}O^{k}b)}$

Здесь матрица ${\displaystyle O}$ может быть одного из пяти типов ${\displaystyle (S,V,T,A,P)}$[3]:

${\displaystyle O_{S}=\mathbf {1} }$,

${\displaystyle O_{V}=\gamma _{\alpha }}$,

${\displaystyle O_{T}={\frac {\sigma _{\alpha \beta }}{\sqrt {2}}}}$,

${\displaystyle O_{A}=\gamma _{5}\gamma _{\alpha }}$,

${\displaystyle O_{P}=\gamma _{5}}$,

где ${\displaystyle \gamma _{\alpha }}$ — матрицы Дирака. Буквы S, V, T, A, P означают соответственно скаляр, вектор, тензор (антисимметричный, второго ранга), аксиальный вектор и псевдоскаляр — это все возможные лоренц-ковариантные амплитуды, которые могут быть построены как произведение вида ${\displaystyle {\bar {a}}Ob.}$

Матрица ${\displaystyle C_{ik}}$ называется матрицей Фирца.

Матрица Фирца

Произведение	S	V	T	A	P
S × S =	1/4	1/4	−1/4	−1/4	1/4
V × V =	1	−1/2	0	−1/2	−1
T × T =	−3/2	0	−1/2	0	−3/2
A × A =	−1	−1/2	0	−1/2	1
P × P =	1/4	−1/4	−1/4	1/4	1/4

Эти тождества (в общем виде) были установлены[4] в 1937 году швейцарским физиком Маркусом Фирцем^[англ.], тогдашним ассистентом В. Паули.

См. также

• Матрицы Паули
• Матрицы Гелл-Манна
• Матрицы Дирака

Примечания

1. Окунь, 2005, с. 270.
2. Окунь, 2005, с. 271.
3. Окунь, 2005, с. 276—277.
4. Fierz M. Zur Fermischen Theorie des β-Zerfalls (нем.) // Zeitschrift für Physik. — 1937. — Bd. 104. — S. 553–565. — doi:10.1007/BF01330070. — Bibcode: 1937ZPhy..104..553F. Архивировано 13 ноября 2023 года.

Литература

• Окунь Л. Б. Лептоны и кварки. — М.: Едиториал УРСС, 2005. — 352 с. — ISBN 5-354-01084-5.