ПсевдоскалярПсевдоскаляр — величина, не изменяющаяся при переносе и повороте координатных осей, но изменяющая свой знак при замене направления одной оси на противоположное (и вообще — при переходе к базису другой ориентации). Псевдотензор нулевого ранга. Инвариантное определениеПусть — конечномерное векторное пространство над упорядоченным полем . Инвариантное определение псевдоскаляра можно дать следующим образом. Псевдоскаляр есть величина, имеющая абсолютное значение и ориентацию. Это можно понимать по аналогии с обычным скаляром, который имеет абсолютное значение и знак. Более формально ненулевой псевдоскаляр можно определить как упорядоченную пару , где — положительный элемент поля, а — одна из двух ориентаций пространства . Кроме этого также определяется особый псевдоскаляр, не имеющий ориентации, но имеющий абсолютное значение равное (аналогично нулю в скалярах, который не имеет знака). Он называется нулевым псевдоскаляром. Таким образом, псевдоскаляры — это пары вида плюс нулевой псевдоскаляр. На псевдоскалярах определяются операции сложения и умножения на скаляр, которые превращают множество псевдоскаляров в одномерное векторное пространство над полем . Нейтральным элементом по сложению является нулевой псевдоскаляр, а противоположный псевдоскаляр получается заменой ориентации на противоположную. Кроме этого определяется также умножение псевдоскаляров, результатом которого является скаляр с абсолютным значением, равной произведению длин множителей, знаком плюс, если ориентации множителей одинаковы, и знаком минус, если разные. Похожим образом определяются произведения псевдоскаляров на векторы, тензоры, псевдовекторы, псевдотензоры. Умножение на псевдовеличину даёт обычную величину того же вида, а на обычную — псевдовеличину. Как и для других объектов линейной алгебры, выбрав базис пространства можно приписать псевдоскаляру определённую числовую величину. Координата псевдоскаляра в заданном базисе зависит от их ориентаций: если ориентация базиса и псевдоскаляра совпадают, то координата равна абсолютному значению со знаком плюс, если же они противоположны, то абсолютному значению со знаком минус. Формула замены координаты при переходе к новому базису выглядит следующим образом:
где — координата в старом базисе, — координата в новом, — матрица перехода от старого базиса к новому. Из закона преобразования координат можно дать неинвариантное определение псевдоскаляра как величину, имеющую одну координату, которая сохраняется при переходе к базису той же ориентации, и меняется на противоположную при переходе к базису противоположной ориентации. Именно это определение обычно берут за основное. При таком определении псевдоскаляром считается вообще любая величина, обладающая таким законом замены координат, вне зависимости от конкретного определения. Это, разумеется, не играет роли, потому что все такие величины канонически изоморфны и могут быть отождествлены. ПримерыДля пространств (многообразий) любой размерности
В трёхмерном пространстве
В двумерном пространстве (на двумерном многообразии)
См. такжеПримечания
|