Матрицы Гелл-Манна

Ма́трицы Гелл-Ма́нна — генераторы группы SU(3). Названы по имени Мюррея Гелл-Мана. Всего их восемь:

${\displaystyle \lambda _{1}={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{2}={\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}$
${\displaystyle \lambda _{4}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{5}={\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}}}$
${\displaystyle \lambda _{6}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{7}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}}$

Каждому из восьми глюонов сопоставляется матрица Гелл-Манна.

Свойства

Произведение:

${\displaystyle \lambda _{a}\lambda _{b}={\frac {2}{3}}\delta _{ab}\mathbf {E} +d_{abc}\lambda _{c}+if_{abc}\lambda _{c}}$,

где

• ${\displaystyle d_{abc},f_{abc}}$ — структурные константы алгебры su(3);
• ${\displaystyle \mathbf {E} }$ — единичная матрица 3×3;
• ${\displaystyle \delta _{ab}}$ — символ Кронекера.

След произведения:

${\displaystyle \operatorname {Sp} \;\lambda _{a}\lambda _{b}=2\delta _{ab}}$,

Коммутатор:

${\displaystyle [\lambda _{a},\lambda _{b}]_{-}=2if_{abc}\lambda _{c}}$

Антикоммутатор:

${\displaystyle [\lambda _{a}\lambda _{b}]_{+}={\frac {4}{3}}\delta _{ab}\mathbf {E} +2d_{abc}\lambda _{c}}$

Также для матриц Гелл-Манна выполняются тождества Фирца.

См. также

• Тождества Фирца

Литература

• Гелл-Мана матрицы — статья из Физической энциклопедии