Термоэлектрический эффект в графене

Основная статья: Графен

Термоэлектрический эффект в графене представляет собой преобразование потока тепла (градиента температуры) в электричество (ток в замкнутой цепи или напряжение при разомкнутой электрической цепи) в графене. В этом случае говорят о генерации энергии (эффект Зеебека) или термогенерации, но существует и обратный эффект (эффект Пельтье), когда ток вызывает охлаждение материала и говорят о термоохлаждении. Впервые эффект Зеебека наблюдался в работах[1][2].

Общие положения

Графен
Физика графена Математическая формулировка …
Основа Квантовая механика Уравнение Дирака Двумерный кристалл Нейтрино (2+1)-мерная КЭД Постоянная тонкой структуры Фаза Берри Углеродные нанотрубки
Фундаментальные понятия История Зонная структура Уравнение Дирака Хиральность Гексагональная решётка Волновая функция Точка электронейтральности e-h лужи Видимость графена Фаза Берри Двухслойный графен
Получение и технология Получение графена Механическое расщепление Химические методы получения Эпитаксия на металлы Подвешенный графен Верхний затвор Перенос графена
Применения Применение графена Графеновый полевой транзистор Графеновые наноленты
Транспортные свойства Электроны и дырки Проводимость Фононы Парадокс Клейна Линза Веселаго 1/f Дробовой шум Случайный телеграфный сигнал p — n переход Ферми-жидкость Термоэлектрический эффект
Магнитное поле Магнетосопротивление Осцилляции Шубникова — де Гааза КЭХ Спиновый квантовый эффект Холла ДКЭХ Осцилляции Вейса Магнетоэкситоны Сверхпроводимость Слабая локализация Эффект Ааронова — Бома
Оптика графена Рамановское рассеяние света α
Известные учёные Андре Гейм Константин Новосёлов Филипп Ким Михаил Кацнельсон
См. также: Портал:Физика

Теоретически как и всякий тепловая машина её эффективность ограничиваться эффективностью цикла Карно, но на практике потери приводят к выражению[3]

${\displaystyle \eta =\left(1-{\frac {T_{c}}{T_{h}}}\right){\frac {{\sqrt {1+zT}}-1}{{\sqrt {1+zT}}+T_{c}/T_{h}}}}$,

где T_c и T_h — холодная и горячая температуры создающие градиент, zT — безразмерный параметр характеризующий преобразование тепла в электричество для конкретного материала. Этот параметр представляется в виде[4]

${\displaystyle zT={\frac {\sigma S^{2}T}{\kappa }}}$,

где σ=neμ — проводимость графена, n — концентрация носителей тока (электронов или дырок), e — элементарный заряд, μ — подвижность носителей тока, S — коэффициент Зеебека, T — температура, κ — теплопроводность графена. Для графена теплопроводность складывается из двух вкладов: электронной (κ_e) и фононной частей (κ_p). Для повышения эффективности преобразования тепла в электричество в графене нужно увеличить коэффициент Зеебека, проводимость, температуру, но уменьшать теплопроводность. Но эти величины оказываются связаны некоторыми соотношениями, например согласно закону Видемана — Франца проводимость пропорциональна и электронной теплопроводности, а формула Мотта гласит, что при увеличении проводимости уменьшается коэффициент Зеебека. Так как графен амбиполярный материал, то одновременное присутствие уменьшению и дырок приводит к уменьшению коэффициента Зеебека, поэтому для эффективной работы теплопреобразователей нужно иметь конечную концентрацию носителей тока и, задача сводится к попыткам увеличить произведение двух параметров σS^2, поскольку уменьшение теплопроводимости обычно достигается внесением дефектов, что в свою очередь уменьшает проводимость.

Коэффициент Зеебека

Формула Мотта для коэффициента Зеебека в графене (вырожденный газ) равна[4]

${\displaystyle S=-{\frac {k_{B}}{\sigma e}}\int \sigma (E){\frac {E-E_{F}}{k_{B}T}}{\frac {\partial f(E)}{\partial E}}=-{\frac {\pi ^{2}k_{B}}{3e}}k_{B}T\left[{\frac {d\ln(\sigma _{E})}{dE}}\right]_{E=E_{F}}}$,

где E — энергия, E_F — энергия Ферми, k_B — постоянная Больцмана, f(E) — функция Ферми — Дирака. Здесь важно заметить, что увеличение коэффициента Зеебека можно добиться увеличением плотности состояний, как например в системах с меньшей размерности: графеновых нанолентах или квантовых точек из графена.

Теплопроводность

Теплопроводность графена имеет два вклада: электронный[5]

${\displaystyle \kappa _{e}=L\sigma T}$,

где L — число Лоренца, и фононный

${\displaystyle \kappa _{p}={\frac {1}{2}}c_{v}v_{s}\lambda _{ph}}$,

где c_v — удельная теплоёмкость, v_s — скорость звука, λ_ph — длина свободного пробега фононов. Из-за рекордной теплопроводности в графене главный параметр отвечающий за эффективность преобразования тепла в электричество zT оказывается очень мал (~0.01), поэтому много исследований направлено на попытки уменьшить теплопроводность графена. Например этого можно добиться используя изотоп углерода, созданием различных дефектов[6].

Теория термоэлектрического эффекта в графене

Плотность тока носителей заряда j и плотность потока тепла j_Q связаны с электрическим полем E (которое также имеет смысл градиента потенциала с отрицательным знаком ${\displaystyle E=-\nabla V}$) и градиентом температуры ${\displaystyle \nabla T}$ в линейном приближении[7]

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j\\j_{Q}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}L^{11}&L^{12}\\L^{21}&L^{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}E\\-\nabla T\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I^{(0)}&-I^{(1)}/eT\\-I^{(1)}/e&I^{(2)}/e^{2}T\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}E\\-\nabla T\end{pmatrix}},}$

где интеграл I^(a) в приближении времени релаксации запишется в виде (μ — химический потенциал):

${\displaystyle I^{(a)}=\int d\varepsilon (\varepsilon -\mu )^{a}\left(-{\frac {\partial f^{0}(\varepsilon )}{\partial \varepsilon }}\right)\sigma (\varepsilon )}$.

Здесь проводимость σ запишется через время релаксации τ, которое зависит от энергии:

${\displaystyle \sigma (\varepsilon )={\frac {e^{2}}{\pi \hbar }}{\frac {|\varepsilon |\tau (\varepsilon )}{\hbar }}}$.

Коэффициент Зеебека определяется при отсутствии тока как отношение матричных коэффициентов S=L^12/L^11 и, при условии вырождения (энергия Ферми много больше температуры), превращается в приведённую выше формулу Мотта. Знание зависимости времени релаксации от энергии позволяет использовать формулу Мотта для определения доминирующего механизма рассеяния в графене, например различить рассеяние на фононах и на ионизированных примесях. Экспериментальные результаты полученные при низких температурах согласуются с предположением о вкладе экранированных примесей в графене в рассеяние носителей тока, причём неэкранированные примеси приводят к линейной зависимости коэффициента Зеебека от температуры

${\displaystyle S=-{\frac {2\pi ^{2}}{3e}}{\frac {k_{B}^{2}T}{E_{F}}}\propto {\frac {1}{\sqrt {n}}}}$,

а экранированный потенциал — к квадратичной зависимости. Вклад нейтральных рассеивателей и фононов сильно (экспоненциально) подавлен при низких температурах и высоких концентрациях носителей тока. Вклад других рассеивателей, которые дают линейную зависимость проводимости от концентрации, такие как резонансные рассеиватели и состояния в центре зоны, приводят к другой функциональной температурной зависимости[8].

Примечания

1. Zuev Y., Chang W. and Kim P. Thermoelectric and magnetothermoelectric transport measurements of graphene // Phys. Rev. Lett.. — 2009. — Т. 102. — С. 096807. — doi:10.1103/PhysRevLett.102.09680710.1103/PhysRevLett.102.096807. Архивировано 7 ноября 2021 года.
2. Wei P., Bao W., Pu Y., Lau C. and Shi J. Anomalous Thermoelectric Transport of Dirac Particles in Graphene // Phys. Rev. Lett.. — 2009. — Т. 102. — С. 166808. — doi:10.1103/PhysRevLett.102.166808. Архивировано 26 ноября 2018 года.
3. Dollfus et al., 2015, с. 1.
4. Dollfus et al., 2015, с. 2.
5. Amollo et al., 2018, с. 143.
6. Y. Anno, Y. Imakita, K. Takei, S. Akita and T. Arie. Enhancement of graphene thermoelectric performance through defect engineering // 2D Mater.. — 2017. — Т. 4. — С. 025019. — doi:10.1088/2053-1583/aa57fc. Архивировано 13 февраля 2020 года.
7. E. H. Hwang, E. Rossi, and S. Das Sarma. Theory of thermopower in two-dimensional graphene // Phys. Rev. B. — 2009. — Т. 80. — С. 235415. — doi:10.1103/PhysRevB.80.235415. — arXiv:0902.1749. Архивировано 8 марта 2022 года.
8. Hwang et al., 2009.

Литература

• P. Dollfus, V. H. Nguyen and J. Saint-Martin. Thermoelectric effects in graphene nanostructures // J. Phys.: Condens. Matter. — 2015. — Т. 27. — С. 133204. — doi:10.1088/0953-8984/27/13/133204. — PMID 25779989.

• T. A. Amollo, G. T. Mola, M. S. K. Kirui & V. O. Nyamori. Graphene for Thermoelectric Applications: Prospects and Challenges // Critical Reviews in Solid State and Materials Sciences. — 2018. — Т. 43. — С. 133—157. — doi:10.1080/10408436.2017.1300871. — PMID 25779989.