Парадокс Клейна в графене

Не следует путать с парадоксом Клейна.

Графен
Физика графена Математическая формулировка …
Основа Квантовая механика Уравнение Дирака Двумерный кристалл Нейтрино (2+1)-мерная КЭД Постоянная тонкой структуры Фаза Берри Углеродные нанотрубки
Фундаментальные понятия История Зонная структура Уравнение Дирака Хиральность Гексагональная решётка Волновая функция Точка электронейтральности e-h лужи Видимость графена Фаза Берри Двухслойный графен
Получение и технология Получение графена Механическое расщепление Химические методы получения Эпитаксия на металлы Подвешенный графен Верхний затвор Перенос графена
Применения Применение графена Графеновый полевой транзистор Графеновые наноленты
Транспортные свойства Электроны и дырки Проводимость Фононы Парадокс Клейна Линза Веселаго 1/f Дробовой шум Случайный телеграфный сигнал p — n переход Ферми-жидкость Термоэлектрический эффект
Магнитное поле Магнетосопротивление Осцилляции Шубникова — де Гааза КЭХ Спиновый квантовый эффект Холла ДКЭХ Осцилляции Вейса Магнетоэкситоны Сверхпроводимость Слабая локализация Эффект Ааронова — Бома
Оптика графена Рамановское рассеяние света α
Известные учёные Андре Гейм Константин Новосёлов Филипп Ким Михаил Кацнельсон
См. также: Портал:Физика

Парадо́кс Кле́йна в графе́не — прохождение любых потенциальных барьеров без обратного рассеяния под прямым углом. Эффект связан с тем, что спектр носителей тока в графене линейный и квазичастицы подчиняются уравнению Дирака для графена. Эффект предсказан теоретически в 2006 году[1] для прямоугольного барьера.

Теория

Коэффициент прохождения (в зависимости от угла падения) через симметричный прямоугольный барьер (энергия частиц 0,04 эВ), при изменении ширины барьера от 25 нм до 150 нм в полярных координатах.

Квазичастицы в графене описываются двумерным гамильтонианом для безмассовых дираковских частиц

${\displaystyle {\hat {H}}=-i\hbar v_{F}\sigma \cdot \nabla ,}$

где ${\displaystyle \hbar }$ — постоянная Планка деленная на 2 π, ${\displaystyle v_{F}}$ — Ферми скорость, ${\displaystyle \sigma =(\sigma _{x},\sigma _{y})}$ — вектор оставленный из матриц Паули, ${\displaystyle \nabla =(\nabla _{x},\nabla _{y})}$ — оператор набла. Пусть есть потенциальный барьер с высотой ${\displaystyle V_{0}}$ и шириной ${\displaystyle D}$, а энергия налетающих частиц равна ${\displaystyle E}$. Тогда из решения уравнения Дирака для областей слева барьера (индекс I), в самом барьере (II) и справа от барьера (III) запишутся в виде плоских волн как для свободных частиц:

${\displaystyle \psi _{I}(\mathbf {r} )={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\se^{i\phi }\end{pmatrix}}e^{i(k_{x}x+k_{y}y)}+{\frac {r}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\se^{i(\pi -\phi )}\end{pmatrix}}e^{i(-k_{x}x+k_{y}y)},}$

${\displaystyle \psi _{II}(\mathbf {r} )={\frac {a}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\s'e^{i\theta }\end{pmatrix}}e^{i(q_{x}x+k_{y}y)}+{\frac {b}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\s'e^{i(\pi -\theta )}\end{pmatrix}}e^{i(-q_{x}x+k_{y}y)},}$

${\displaystyle \psi _{III}(\mathbf {r} )={\frac {t}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\se^{i\phi }\end{pmatrix}}e^{i(k_{x}x+k_{y}y)},}$

где приняты следующие обозначения для углов ${\displaystyle \phi =\arctan {(k_{y}/k_{x})}}$, ${\displaystyle \theta =\arctan {(k_{y}/q_{x})}}$, и волновых векторов в I-ой и III-ей областях ${\displaystyle k_{x}=k_{F}\cos {\phi }}$, ${\displaystyle k_{y}=k_{F}\sin {\phi }}$, и во II-ой области под барьером ${\displaystyle q_{x}={\sqrt {(V_{0}-E)^{2}/\hbar ^{2}v_{F}^{2}-k_{y}^{2}}}}$, знаков следующих выражений ${\displaystyle s=\mathrm {sign} (E)}$ и ${\displaystyle s'=\mathrm {sign} (E-V_{0})}$. Неизвестные коэффициенты ${\displaystyle r}$, ${\displaystyle t}$ амплитуды отражённой и прошедшей волны соответственно находятся из непрерывности волновой функции на границах потенциала.

Для коэффициента прохождения как функции угла падения частицы получено следующее выражение[2]

${\displaystyle T(\phi )={\frac {\cos ^{2}{\theta }\cos ^{2}{\phi }}{[\cos {(Dq_{x})}\cos {\phi }\cos {\theta }]^{2}+\sin ^{2}{(Dq_{x})[1-ss^{'}\sin {\phi }\sin {\theta }]^{2}}}}.}$

На рисунке справа показано как изменяется коэффициент прохождения в зависимости от ширины барьера. Показано, что максимальная прозрачность барьера наблюдается при нулевом угле всегда, а при некоторых углах возможны резонансы.

Примечания

1. Katsnelson M. I., et. al. «Chiral tunnelling and the Klein paradox in graphene» Nature Physics 2, 620 (2006) doi:10.1038/nphys384 Препринт Архивная копия от 12 июля 2015 на Wayback Machine
2. Castro Neto A. H. cond-mat Архивная копия от 12 июля 2015 на Wayback Machine