Теорема Ролля

Теорема Ро́лля (теорема о нуле производной) — теорема математического анализа, входящая, вместе с теоремами Лагранжа и Коши, в число так называемых «теорем о среднем значении». Теорема утверждает, что

Если вещественная функция $f(x)$ , непрерывная на отрезке $[a,b]$ и дифференцируемая на интервале $(a,b)$ , принимает на концах отрезка $[a,b]$ одинаковые значения $f(a)=f(b)$ , то на интервале $(a,b)$ найдётся хотя бы одна точка $c$ , в которой производная функции равна нулю: $f'(c)=0$ .

Доказательство

Следствие теоремы Ролля: между каждыми двумя последовательными корнями многочлена лежит корень его производной

Если функция на отрезке постоянна, то утверждение очевидно, поскольку производная функции равна нулю в любой точке интервала.

Если же нет, поскольку функция непрерывна на $[a,b]$ , то согласно теореме Вейерштрасса, она принимает своё наибольшее или наименьшее значение в некоторой точке интервала, то есть имеет в этой точке локальный экстремум, и по лемме Ферма производная в этой точке равна 0.

Геометрический и физический (механический) смысл

С геометрической точки зрения теорема утверждает, что если ординаты обоих концов гладкой кривой равны, то на кривой найдётся точка, в которой касательная к кривой параллельна оси абсцисс.

Механический смысл теоремы в том, что если некоторое тело в начальный и конечный моменты времени находилось в одной точке пространства, а между ними двигалось по прямой (или, иначе говоря, в одномерном пространстве), то хотя бы в один момент времени между ними его скорость была равна нулю (в простейшем случае оно двигалось в одном направлении, потом остановилось и двинулось в противоположном).

Существенность условий теоремы и соответствующие контрпримеры

Все условия теоремы — непрерывность функции на отрезке, дифференцируемость на интервале и равенство значений на концах отрезка — существенны. При исключении каждого из этих условий легко подобрать контрпример, свидетельствующий, что заключение теоремы становится неверным.

Следствия

Если дифференцируемая функция обращается в нуль в $n$ различных точках, то её производная обращается в нуль по крайней мере в $n-1$ различных точках^[1], причём эти нули производной лежат в выпуклой оболочке нулей исходной функции. Это следствие легко проверяется для случая действительных корней, однако имеет место и в комплексном случае.
Если все корни многочлена $n$ -й степени действительные, то и корни всех его производных до $n-1$ включительно — также исключительно действительные.
Теорема Лагранжа: дифференцируемая функция на отрезке между двумя своими точками имеет касательную, параллельную секущей/хорде, проведённой через эти две точки.