Теорема Риба об устойчивости

В математике Теорема Риба об устойчивости утверждает, что если слоение коразмерности один имеет замкнутый слой с конечной фундаментальной группой, то все его слои замкнуты и имеют конечную фундаментальную группу. Доказана французским математиком Жоржем Рибом.

Теорема Риба о локальной устойчивости

Теорема[1]: Пусть ${\displaystyle F}$ гладкое (класса ${\displaystyle C^{1}}$) слоение коразмерности ${\displaystyle k}$ на многообразии ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle L}$ компактный слой с конечной группой голономии. Тогда всякая трубчатая окрестность слоя ${\displaystyle L}$ содержит меньшую окрестность ${\displaystyle U}$, состоящую из целых слоев слоения ${\displaystyle F}$ (т.н. насыщенную окрестность), все слои которой являются компактными и имеют конечную группу голономии. Более того, определена ретракция ${\displaystyle \pi :U\to L}$ такая, что для каждого слоя ${\displaystyle L'\subset U}$, отображение ${\displaystyle \pi |_{L'}:L'\to L}$ является конечнолистным накрытием и для каждой точки ${\displaystyle y\in L}$, прообраз ${\displaystyle \pi ^{-1}(y)}$ гомеоморфен диску ${\displaystyle D^{k}}$ и трансверсален слоям ${\displaystyle F}$.

В частности, если слой ${\displaystyle L}$ односвязен, то он обладает насыщенной окрестностью, слоение в которой диффеоморфно слоению ${\displaystyle \{L\times t\}}$ произведения ${\displaystyle L\times D^{k}}$.

Теорема также может быть сформулирована для некомпактного слоя.[2][3]

Теорема Риба о глобальной стабильности

В теории слоений весьма интересным представляется вопрос о том, как наличие у слоения компактного слоя влияет на глобальную структуру слоения. Для некоторых классов слоений эта задача имеет решение.

Теорема[1]: Пусть ${\displaystyle F}$ гладкое (класса ${\displaystyle C^{1}}$) слоение коразмерности 1 на замкнутом многообразии ${\displaystyle M}$. Если ${\displaystyle F}$ имеет компактный слой ${\displaystyle L}$ с конечной фундаментальной группой, то все слои ${\displaystyle F}$ также являются компактными и имеют конечную фундаментальную группу. Если слоение ${\displaystyle F}$ трансверсально ориентируемо, то каждый слой ${\displaystyle F}$ диффеоморфен ${\displaystyle L}$; при этом многообразие ${\displaystyle M}$ является тотальным пространством расслоения ${\displaystyle f:M\to S^{1}}$ над окружностью ${\displaystyle S^{1}}$ со слоем ${\displaystyle L}$.

Эта теорема верна также и для многообразия с краем, при условии, что слоение касается некоторых компонент границы, а другим трансверсально.[4]. В этом случае, из неё следует теорема Риба о сфере.

Теорема Риба о глобальной стабильности неверна для слоений коразмерности большей единицы[5]. Однако, для некоторых специальных классов слоений справедливы аналогичные результаты:

• При наличии специальной трансверсальной структуры:

Теорема[6]: Пусть ${\displaystyle F}$ полное конформное слоение коразмерности ${\displaystyle k\geq 3}$ на связном многообразии ${\displaystyle M}$. Если ${\displaystyle F}$ имеет компактный слой с конечной группой голономии, то все слои ${\displaystyle F}$ являются компактными и имеют конечную группу голономии.

• Для голоморфных слоений на кэлеровых многообразиях:

Теорема[7]: Пусть ${\displaystyle F}$ голоморфное слоение коразмерности ${\displaystyle k}$ на компактном комплексном кэлеровом многообразии. Если ${\displaystyle F}$ имеет компактный слой с конечной группой голономии, то все слои ${\displaystyle F}$ являются компактными и имеют конечную группу голономии.

Литература

• И. Тамура. Топология слоений — М: Мир, 1979.
• Д. Б. Фукс. Слоения — Итоги науки и техн. Сер. Алгебра. Топол. Геом., 18, ВИНИТИ, М., 1981, 151–213 [5]

Примечания

1. G. Reeb, G. Reeb. Sur certaines propriétés toplogiques des variétés feuillétées (фр.). — Paris: Hermann, 1952. — Vol. 1183. — (Actualités Sci. Indust.).
2. T.Inaba, ${\displaystyle C^{2}}$ Reeb stability of noncompact leaves of foliations,— Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci., 59:158{160, 1983 [1]
3. J. Cantwell and L. Conlon, Reeb stability for noncompact leaves in foliated 3-manifolds, — Proc. Amer.Math.Soc. 33 (1981), no. 2, 408–410.[2] Архивная копия от 21 октября 2012 на Wayback Machine
4. C. Godbillon, Feuilletages, etudies geometriques, — Basel, Birkhauser, 1991
5. W.T.Wu and G.Reeb, Sur les éspaces fibres et les variétés feuillitées, — Hermann, 1952.
6. R.A. Blumenthal, Stability theorems for conformal foliations, — Proc. AMS. 91, 1984, p. 55- 63. [3] Архивная копия от 21 октября 2012 на Wayback Machine
7. J.V. Pereira, Global stability for holomorphic foliations on Kaehler manifolds, — Qual. Theory Dyn. Syst. 2 (2001), 381--384. [4]