Теорема Риба о сфере

Теорема Риба о сфере: Пусть на замкнутом ориентируемом связном многообразии ${\displaystyle M^{n}}$ существует слоение с особенностями, все особые точки которого изолированы и являются центрами. Тогда ${\displaystyle M^{n}}$ гомеоморфно сфере ${\displaystyle S^{n}}$, и слоение имеет ровно две особые точки.

Теорема доказана в 1946 году французским математиком Жоржем Рибом.

Морсовское слоение

Изолированная особая точка слоения F называется точкой морсовского типа, если в её малой окрестности все слои являются уровнями некоторой функции Морса, а сама она является критической точкой этой функции.

Особая точка морсовского типа называется центром, если она является локальным экстремумом функции; в противном случае она называется седлом.

Обозначим ind p = min(k, n − k), индекс особенности ${\displaystyle p}$, где k — индекс соответствующей критической точки морсовской функции. В частности, центр имеет индекс 0, индекс седла по меньшей мере 1.

Морсовское слоение F на многообразии M это особое трансверсально ориентированное слоение коразмерности 1 класса C^2 с изолированными особенностями, причем:

• все особенности F морсовского типа,
• каждый особый слой L содержит только одну особую точку p; при этом, если ind p = 1 то ${\displaystyle L\setminus p}$ несвязно.

Пусть c — число центров морсовского слоения F, и ${\displaystyle s}$ — число его седел, оказывается, что разность c − s тесно связана с топологией многообразия ${\displaystyle M}$.

Теорема Риба о сфере

Рассмотрим случай c > s = 0, то есть все особенности являются центрами, седла отсутствуют.

Теорема:[1] Пусть на замкнутом ориентированном связном многообразии ${\displaystyle M^{n}}$ размерности ${\displaystyle n\geq 2}$ существует ${\displaystyle C^{1}}$-трансверсально ориентированное слоение ${\displaystyle F}$ коразмерности 1 с непустым множеством изолированных особых точек, которые все являются центрами. Тогда слоение ${\displaystyle F}$ имеет ровно две особые точки, и многообразие ${\displaystyle M^{n}}$ гомеоморфно сфере ${\displaystyle S^{n}}$.

Этот факт является следствием теоремы Риба об устойчивости.

Вариации и обобщения

Более общим является случай ${\displaystyle c>s\geq 0.}$

В 1978 году Вагнер (E. Wagneur) обобщил теорему Риба о сфере на морсовские слоения с седлами. Он показал, что число центров не может быть слишком велико в сравнении с числом седел, а именно, ${\displaystyle c\leq s+2}$. Таким образом, есть ровно два случая, когда ${\displaystyle c>s}$:

(1) ${\displaystyle c=s+2,}$

(2) ${\displaystyle c=s+1.}$

Вагнер также описал многообразия, на которых существуют слоения, удовлетворяющие случаю (1).

Теорема[2]: Пусть на компактном связном многообразии ${\displaystyle M^{n}}$, существует морсовское слоение ${\displaystyle F}$ с ${\displaystyle c}$ центрами и ${\displaystyle s}$ седлами. Тогда ${\displaystyle c\leq s+2}$. Если ${\displaystyle c=s+2}$, то

• ${\displaystyle M^{n}}$ гомеоморфно сфере ${\displaystyle S^{n}}$,

• все седла имеют индекс 1,

• каждый неособый слой диффеоморфен сфере ${\displaystyle S^{n-1}}$.

Наконец, в 2008 году Камачо и Скардуа (C. Camacho, B. Scardua) рассмотрели случай (2), ${\displaystyle c=s+1}$. Интересно, что этот случай возможен только в некоторых размерностях.

Теорема[3]: Пусть ${\displaystyle M^{n}}$ компактное связное многообразие и ${\displaystyle F}$ — морсовское слоение на ${\displaystyle M^{n}}$. Если ${\displaystyle s=c+1}$, то

• ${\displaystyle n=2,4,8}$ или ${\displaystyle 16}$,

• ${\displaystyle M^{n}}$ является многообразием Илса — Кёйпера.

Ссылки

1. G. Reeb, Sur les points singuliers d’une forme de Pfaff complétement intégrable ou d’une fonction numérique. — C.R.A.S. Paris 222, 1946, pp. 847—849.[1] Архивная копия от 9 марта 2016 на Wayback Machine
2. E. Wagneur, Formes de Pfaff à singularités non dégénérées — Annales de l’institut Fourier, 28, N3, 1978, p. 165—176 [2] Архивная копия от 5 июня 2011 на Wayback Machine
3. C. Camacho, B. Scardua, On foliations with Morse singularities. — Proc. Amer. Math. Soc., 136, 2008, p. 4065—4073[3]