Слоение коразмерности 1

Слоение коразмерности 1 — это разбиение многообразия на непересекающиеся подмножества которые локально выглядят как поверхности уровня гладких регулярных функций.

Определение

На ${\displaystyle n}$-мерном многообразии ${\displaystyle M}$ задано слоение коразмерности 1, если ${\displaystyle M}$ наделено разбиением на линейно связные подмножества ${\displaystyle L_{\alpha }}$ со следующим свойством: в окрестности любой точки из ${\displaystyle M}$ найдется локальная система координат ${\displaystyle x^{1},\dots ,x^{n}:U\to \mathbb {R} }$, в которой связные компоненты множества ${\displaystyle L_{\alpha }\cap U}$ состоят из решений ${\displaystyle x^{n}={const}}$.

Множества ${\displaystyle L_{\alpha }}$ называются слоями слоения, ${\displaystyle M}$ — его тотальным пространством.

Слои наделяются топологией, базу которой составляют связные компоненты пересечения слоя с открытыми подмножествами тотального многообразразия ${\displaystyle M}$. По отношению к этой топологии слой является гладким многообразием, и его включение в тотальное многообразие вложением в слабом смысле.

Связанные определения

Определяющая 1-форма слоения

Определяющая 1-форма слоения в открытом множестве ${\displaystyle U\subset M}$ — это гладкая 1-форма ${\displaystyle \omega }$, не равная нулю в ${\displaystyle U}$, ограничение которой на компоненту пересечения любого слоя с ${\displaystyle U}$ тривиально.

Не всякая ненулевая 1-форма определяет слоение в ${\displaystyle U}$, требуется, чтобы был выполнен критерий интегрируемости Фробениуса:

Гладкая 1-форма ${\displaystyle \omega }$, не равная нулю в ${\displaystyle U}$, определяет слоение тогда и только тогда, когда в ${\displaystyle U}$ выполняется одно из двух эквивалентных условий

1. существует гладкая 1-форма ${\displaystyle \eta }$ такая что ${\displaystyle d\omega =\eta \wedge \omega }$,
2. ${\displaystyle \omega \wedge d\omega =0}$.

В частности, всякая замкнутая 1-форма определяет слоение.

Если ${\displaystyle U=M}$, мы имеем глобальную определяющую форму. Слоение коразмерности 1 определяется глобальной 1-формой в том и только в том случае, если оно ориентируемо, и выбор этой 1-формы приводит к выбору определенной ориентации.

Глобальная определяющая форма ${\displaystyle \omega \neq 0}$ может быть замкнутой, ${\displaystyle d\omega =0}$, только в том случае, когда многообразие является расслоением над окружностью[1].

Класс Годбийона — Вея

Для ориентируемых слоений коразмерности 1 определяется класс Годбийона — Вея[2]:

Ориентируемое слоение ${\displaystyle F}$ задается глобальной формой ${\displaystyle \omega \neq 0}$, удовлетворяющей условию интегрируемости; следовательно, существует гладкая 1-форма ${\displaystyle \eta }$ такая что ${\displaystyle d\omega =\eta \wedge \omega }$. Классом Годбийона-Вея слоения ${\displaystyle F}$ называется когомологический класс формы ${\displaystyle \eta \wedge d\eta }$.

На трехмерном многообразии можно определить число Годбийона-Вея, оно равно значению класса Годбийона — Вея на фундаментальном гомологическом классе.

Геометрический смысл класса Годбийона — Вея остается неясным — известные в настоящее время теоремы показывают, что слоение с нетривиальным классом Годбийона — Вея являются достаточно запутанными.

Примеры

• Гладкое расслоение над одномерным многообразием
• Нарезка тора ${\displaystyle T^{2}}$ на окружности или иррациональная обмотка,
• Слоение Риба на сфере ${\displaystyle S^{3}}$

Наряду со слоением Риба имеются явные конструкции слоений коразмерности 1 на ряде других многообразий, в частности, на всех нечетномерных сферах ${\displaystyle S^{2k+1}}$ [3].

Свойства

• На связном открытом многообразии такое слоение всегда существует[4].
• На замкнутом многообразии ${\displaystyle M}$ для существования слоения коразмерности 1 необходимо и достаточно, чтобы эйлерова характеристика многообразия ${\displaystyle \chi (M)}$ была равна нулю, ${\displaystyle \chi (M)=0}$[5].
  • В частности, это справедливо для всех нечетномерных замкнутых многообразий ${\displaystyle M^{2k+1}}$. Для поверхности ${\displaystyle M_{g}^{2}}$ эйлерова характеристика ${\displaystyle \chi (M_{g}^{2})=2-2g}$, поэтому среди всех двумерных поверхностей только на торе ${\displaystyle T^{2}}$ существует гладкое слоение.

Литература

• И. Тамура. Топология слоений — М: Мир, 1979.

• Д. Б. Фукс. Слоения — Итоги науки и техн. Сер. Алгебра. Топол. Геом., 18, ВИНИТИ, М., 1981, 151–213 [1]

Примечания

1. Tischler D. On fibering certain foliated manifolds over ${\displaystyle S^{1}}$ — Topology, v.9, 1970, p.153-154
2. Godbillon C., Vey J. Un invariant des feuilletages de codimension un — C.r.Acad. sci., 1971, v.273, N2, p.92-95
3. Lawson H.B. Foliations. — Bull. Amer. Math. Soc., 1974, v.80, N3, p.369-418
4. Haefliger A. Feuilletages sur les varietes ouvertes. — Topology, 1970, 9, N2, 183—194
5. Thurston W. Existence of codimension-one foliation. — Ann. Math., 1976, v.104, N2, p.249-268