Накрытие

Пример накрытия: накрытие ${\displaystyle \mathbb {R} \to S^{1}}$ окружности ${\displaystyle S^{1}}$ спиралью, гомеоморфной пространству вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Накрытие — непрерывное сюръективное отображение ${\displaystyle p:X\to Y}$ линейно связного пространства ${\displaystyle X}$ на линейно связное пространство ${\displaystyle Y}$, такое, что у любой точки ${\displaystyle y\in Y}$ найдётся окрестность ${\displaystyle U\subset Y}$, полный прообраз которой ${\displaystyle p^{-1}(U)}$ представляет собой объединение попарно непересекающихся областей ${\displaystyle V_{k}\subset X}$:

${\displaystyle p^{-1}(U)=V_{1}\cup V_{2}\cup \dots }$,

причём на каждой области ${\displaystyle V_{k}}$ отображение ${\displaystyle p:\,V_{k}\to U}$ является гомеоморфизмом между ${\displaystyle V_{k}}$ и ${\displaystyle U}$.

Формальное определение

Отображение ${\displaystyle p:X\to Y}$ линейно связного пространства ${\displaystyle X}$ на линейно связное пространство ${\displaystyle Y}$ называется накрытием, если у любой точки ${\displaystyle y\in Y}$ имеется окрестность ${\displaystyle U\subset Y}$, для которой существует гомеоморфизм ${\displaystyle h:p^{-1}(U)\to U\times \Gamma }$, где ${\displaystyle \Gamma }$ — дискретное пространство, такое что если ${\displaystyle \pi :U\times \Gamma \to U}$ обозначает естественную проекцию, то

${\displaystyle p|_{p^{-1}(U)}=\pi \circ h}$.

Связанные определения

• Пространство ${\displaystyle Y}$ называется базой накрытия, а ${\displaystyle X}$ — пространством накрытия (или накрывающим пространством).
• Прообраз ${\displaystyle p^{-1}(y)}$ точки ${\displaystyle y\in Y}$ называют слоем над точкой ${\displaystyle y}$.
• Число областей ${\displaystyle V_{k}}$ в полном прообразе ${\displaystyle p^{-1}(U)}$ называется числом листов.
  • Если это число конечно и равно ${\displaystyle n}$, то накрытие называется ${\displaystyle n}$-листным.
• Накрытие ${\displaystyle p\colon {\tilde {Y}}\to Y}$ называется универсальным, если для любого другого накрытия ${\displaystyle q\colon X\to Y}$ существует накрытие ${\displaystyle s\colon {\tilde {Y}}\to X}$ такое, что ${\displaystyle p=q\circ s}$.

Примеры

• Пусть ${\displaystyle S^{1}}$ обозначает единичную окружность комплексной плоскости ${\displaystyle S^{1}=\{z\in {\mathbb {C} ||z|=1}\}}$.
  • ${\displaystyle p:{\mathbb {R} }\to S^{1}}$,   ${\displaystyle p:x\mapsto e^{2\pi ix}}$.
  • ${\displaystyle p:S^{1}\to S^{1}}$,   ${\displaystyle p:z\mapsto z^{k}}$, где ${\displaystyle k\neq 0}$, ${\displaystyle k\in {\mathbb {Z} }}$.

Свойства

• Накрытия являются локальными гомеоморфизмами
• Накрытия являются частным случаем локально тривиальных расслоений. Их можно рассматривать как локально тривиальные расслоения с дискретным слоем.
• Все двулистные накрытия регулярны.
• Универсальное накрытие регулярно.

Связь с фундаментальной группой

Обычно накрытие рассматривается в предположении связности ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ и также локальной односвязности ${\displaystyle Y}$. При этих предположениях устанавливается связь между фундаментальными группами ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$ и ${\displaystyle \pi _{1}(Y,y_{0})}$: если ${\displaystyle p(x_{0})=y_{0}}$, то индуцированный гомоморфизм ${\displaystyle p:\pi _{1}(X,x_{0})\to \pi _{1}(Y,y_{0})}$, отображает ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$ изоморфно на подгруппу в ${\displaystyle \pi _{1}(Y,y_{0})}$ и, меняя точку ${\displaystyle x_{0}}$ в ${\displaystyle p^{-1}(y_{0})}$, можно получить в точности все подгруппы из некоторого класса сопряжённых подгрупп.

Если этот класс состоит из одной подгруппы ${\displaystyle H}$ (то есть ${\displaystyle H}$ — нормальный делитель), то накрытие называется регулярным. В этом случае возникает свободное действие группы ${\displaystyle G=\pi _{1}(Y,y_{0})/H}$ на ${\displaystyle X}$, причём ${\displaystyle p}$ оказывается факторотображением на пространство орбит ${\displaystyle Y}$. Вообще, свободные действия дискретных групп — обычный источник регулярных накрытий (над пространством орбит, хотя и не всякое такое действие задает накрытие, пространство орбит может оказаться неотделимым), но это так для конечных групп. Это действие порождается поднятием петель: если петле ${\displaystyle q:[0,1]\to Y}$, ${\displaystyle q(0)=q(1)=y_{0}}$, сопоставить единственный путь ${\displaystyle {\tilde {q}}:[0,1]\to X}$, для которого ${\displaystyle {\tilde {q}}(0)=x_{0}}$ и ${\displaystyle p{\tilde {q}}=q}$, то точка ${\displaystyle {\tilde {q}}(1)}$ будет зависеть только от класса этой петли в ${\displaystyle G}$ и от точки ${\displaystyle x_{0}}$. Таким образом, элементу из ${\displaystyle G}$ отвечает перестановка точек в ${\displaystyle p^{-1}(y_{0})}$. Эта перестановка не имеет неподвижных точек и непрерывно зависит от точки ${\displaystyle y_{0}}$. Это определяет гомеоморфизм ${\displaystyle X}$, коммутирующий с ${\displaystyle p}$.

Гавайская серьга — пример пространства, не имеющего универсального накрытия

Пространство неодносвязного универсального накрытия

В общем случае эта конструкция определяет лишь перестановку в ${\displaystyle p^{-1}(y_{0})}$, то есть имеется действие ${\displaystyle \pi _{1}(Y,y_{0})}$ на ${\displaystyle p^{-1}(y_{0})}$, называемое монодромией накрытия. Частным случаем регулярного накрытия является универсальное накрытие, для которого ${\displaystyle G=\pi _{1}(Y,y_{0})}$ или, что эквивалентно, X — односвязно.

Вообще, по каждой группе ${\displaystyle H\subset \pi _{1}(Y,y_{0})}$ однозначно строится накрытие ${\displaystyle p:X\to Y}$, для которого образ ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$ есть ${\displaystyle H}$.

Для любого отображения ${\displaystyle f}$ линейно связного пространства ${\displaystyle (Z,z_{0})}$ в ${\displaystyle (Y,y_{0})}$ поднятие его до отображения ${\displaystyle {\tilde {f}}:(Z,z_{0})\to (X,x_{0})}$ существует тогда и только тогда, когда образ ${\displaystyle f(\pi _{1}(Z,z_{0}))}$ лежит в ${\displaystyle H}$. Между накрытиями ${\displaystyle Y}$ имеется отношение частичного порядка (накрытие накрытия есть накрытие), двойственное включению подгрупп в ${\displaystyle \pi _{1}(Y,y_{0})}$. В частности, универсальное накрытие является единственным максимальным элементом.

Литература

• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1986.
• Болтянский В. Г., Ефремович В. А. Наглядная топология. — М.: Наука, 1982. — (Библиотечка «Квант», вып. 21).