Общее число неизоморфных групп по величине порядка от 0 до 95[1]
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
0
0
1
1
1
2
1
2
1
5
2
2
1
5
1
2
1
14
1
5
1
5
2
2
1
24
15
2
2
5
4
1
4
1
51
1
2
1
14
1
2
2
14
1
6
1
4
2
2
1
48
52
2
5
1
5
1
15
2
13
2
2
1
13
1
2
4
267
1
4
1
5
1
4
1
72
50
1
2
3
4
1
6
1
52
15
2
1
15
1
2
1
12
1
10
1
4
2
2
1
Словарь
Каждая группа в списке обозначается при помощи её индекса в библиотеке малых групп как Goi, где o — порядок группы, а i — её индекс среди групп этого порядка.
Также используются общепринятые названия групп:
Zn — циклическая группа порядка n. (Употребляется также обозначение Cn. Группа изоморфна аддитивной группе Z/nZ.)
K4 — четверная группа Клейна порядка 4 (так же обозначаемая как V4), то же самое что Z2 × Z2 или Dih2.
Dihn — диэдрическая группа порядка 2n (часто используются обозначения Dn или D2n)
Обозначения Zn и Dihn предпочтительнее, поскольку имеются обозначения Cn и Dn для точечных групп в трёхмерном пространстве.
Обозначение G × H употребляется для прямого произведения двух групп. Gn обозначает прямое произведение группы самой на себя n раз. G ⋊ H обозначает полупрямое произведение, где H действует на G.
Перечислены абелевы и простые группы. (Для групп порядка n < 60 простые группы — это в точности циклические группы Zn для простых n.) Знак равенства («=») означает изоморфизм.
Нейтральный элемент в графе циклов представлен чёрным кружком. Граф циклов определяет группу однозначно только для групп, порядок которых меньше 16.
В списках подгрупп тривиальная группа и сама группа не перечислены. Если имеется несколько изоморфных подгрупп, их число указано в скобках.
Список малых абелевых групп
Конечные абелевы группы являются либо циклическими группами, либо их прямым произведением, см. статью Абелева группа.
Число неизоморфных абелевых групп по величине их порядка[2]
Имеет такое же количество элементов каждого порядка, что и группа Паули. Нильпотентная.
G164
Z4 ⋊ Z4
Квадраты элементов не образуют подгруппу. Имеет такое же количество элементов каждого порядка, что и группа Q8 × Z2. Нильпотентная.
G166
Z8 ⋊ Z2
Иногда называется модулярной группой[англ.] порядка 16, хотя это вводит в заблуждение, поскольку абелевы группы и Q8 × Z2 тоже модулярны. Нильпотентная.
Группы с малым порядком, равным степени простого числа pn:
Порядок p: все такие группы циклические.
Порядок p2: имеется две группы, обе абелевы.
Порядок p3: имеется три абелевы группы и две неабелевы. Одна из неабелевых групп является полупрямым произведением нормальной циклической подгруппы порядка p2 на циклическую группу порядка p. Другой группой является группа кватернионов для p=2 и группа Гейзенберга по модулю p для p'>2.
Порядок p4: классификация групп сложна и становится всё сложнее с ростом p.
Большинство групп с малым порядком имеет силовскую p-подгруппу P с нормальным p-дополнением N для некоторого простого p, делящего порядок, так что могут быть классифицированы в терминах возможных простых чисел p, p-групп P, групп N и действий P на N. В некотором смысле это сводит классификацию таких групп к классификации p-групп. Группы малого порядка, не имеющие нормального p-дополнения, включают:
Порядок 24: симметрическая группа S4
Порядок 48: бинарная октаэдральная группа и произведение S4 × Z/2Z
Порядок 60: знакопеременная группа A5.
Библиотека малых групп
Система компьютерной алгебры GAP содержит «Библиотеку малых групп», которая предоставляет описания групп малого порядка. Группы перечислены с точностью до изоморфизма. В настоящее время библиотека содержит следующие группы:[60]
группы, порядок которых не превосходит 2000, за исключением порядка 1024 (423 164 062 групп в библиотеке. Группы порядка 1024 пропущены, поскольку имеется 49 487 365 422 неизоморфных 2-групп порядка 1024.);
группы, порядок которых не делится на куб, с порядком до 50000 (395 703 групп);
группы, порядок которых не делится на квадрат;
группы порядка pn для n не больше 6 и простым p;
группы порядка p7 для p = 3, 5, 7, 11 (907,489 группы);
группы порядка qn × p, где qn делит 28, 36, 55 или 74 и p — произвольное простое число, отличное от q;
группы, порядок которых является произведением не более чем трёх простых чисел.
H. S. M. Coxeter, W. O. J. Moser. Generators and Relations for Discrete Groups. — New York: Springer-Verlag, 1980. — ISBN 0-387-09212-9., Таблица 1, Неабелевы группы порядка <32.
Marshall Hall Jr., James K. Senior. The Groups of Order 2n (n ≤ 6). — Macmillan, 1964.
;_Cycle_graph.svg){kind=small}
