Дициклическая группа

В теории групп дициклическая группа Dic_n— это некоммутативная группа порядка 4n (где n>=2), являющаяся расширением циклической группы порядка 2n. Эта группа также называется обобщённой группой кватернионов и обозначается Q_4n.

Имеет место точная последовательность:

${\displaystyle 1\to C_{2n}\to {\mbox{Dic}}_{n}\to C_{2}\to 1.\,}$

которая означает, что Dic_n содержит нормальную подгруппу H, изоморфную C_2n. Факторгруппа Dic_n/H изоморфна C₂.

Определение

Дициклическая группа может быть задана как группа, порождённая элементами a и b соотношениями

• a^2n=1,
• b^2 = a^n,
• b^-1 a b = a^-1.

Из этих соотношений следует, что каждый элемент Dic_n может быть единственным образом записан, как a^kb^j, где 0 ≤ k < 2n, j = 0 или 1. Поэтому порядок группы равен 4n.

Свойства

Центр дициклической группы Z(Dic_n) состоит из двух элементов а^n и 1. Её коммутантом является подгруппа, порождённая элементом a^2 и изоморфная C_n.

Дициклическая группа и группа диэдра

Существует сходство между дициклической группой и группой диэдра Dih_2n . В этих группах имеется циклическая подгруппа A = <a>=C_2n и внутренний автоморфизм, который действует на C_2n как "отражение": int_b(a) = a^-1.

Замена соотношения b^2 = 1 (для группы диэдра) на b^2 = a^n приводит к ряду отличий. Все элементы, не принадлежащие подгруппе <a>, имеют порядок 2 в группе диэдра и порядок 4 в дициклической группе. В отличие от группы диэдра дициклическая группа Dic_n не является полупрямым произведением А и <b>, так как пересечение A ∩ <b> не является тривиальным.

Дициклическая группа имеет ровно один элемент порядка 2, а именно x = b^2 = а^n. Этот элемент принадлежит центру группы Dic_n. Если мы добавим соотношение b^2 = 1, то получим группу диэдра Dih_n. Таким образом факторгруппа Dic_n/<b^2> изоморфна группе диэдра Dih_n, содержащей 2n элементов.

Наименование группы

В математической энциклопедии, группа кватернионов — это частный случай, когда порядок группы равен степени 2. В этом случае группа является нильпотентной.

Случай 2-группы

В обобщённой кватернионной группе любая абелева подгруппа является циклической[1]. Можно показать, что конечная p-группа c этим свойством (любая абелева подгруппа является циклической) является либо циклической, либо обобщённой кватернионной группой[2]. Если же конечная p-группа имеет единственную подгруппу порядка p, то она либо циклическая, либо является обобщённой кватернионной группой (с порядком, равным степени двойки)[3]. В частности, для конечного поля F нечётной характеристики 2-силовская подгруппа SL₂(F) не абелева и имеет только одну подгруппу порядка 2, так что эта 2-силовская подгруппа должна быть обобщенной группой кватернионов[4]. Если p^r — порядок F, где p простое, то порядок 2-силовской подгруппы SL₂(F) равен 2^n, где n = ord₂(p^2 - 1) + ord₂(r).

См. также

• Группа кватернионов#Обобщённая группа кватернионов

Примечания

1. Brown, 1982, с. 101, упражнение 1.
2. Cartan, Eilenberg, 1999, с. 262, теорема 11.6.
3. Brown, 1982, с. 99, теорема 4.3.
4. Gorenstein, 1980, с. 42.

Литература

• Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп, Изд-во «Наука», 1972.
• Kenneth S. Brown. Cohomology of groups. — Springer-Verlag, 1982. — ISBN 978-0-387-90688-1.
• Henri Cartan, Samuel Eilenberg. Homological Algebra. — Princeton University Press, 1999. — ISBN 978-0-691-04991-5.
• D. Gorenstein. Finite Groups. — New York: Chelsea, 1980. — ISBN 978-0-8284-0301-6.