Бинарная группа тетраэдра

В математике бинарная группа тетраэдра (обозначается как 2T или <2,3,3>) — это некоторая неабелева группа 24-го порядка. Группа является расширением тетраэдральной группы T (или (2,3,3)) 12-го порядка циклической группы 2-го порядка и является прообразом группы тетраэдра для 2:1 накрывающего гомоморфизма^[англ.] ${\displaystyle \operatorname {Spin} (3)\to \operatorname {SO} (3)}$ специальной ортогональной группы спинорной группой. Отсюда следует, что бинарная группа тетраэдра — дискретная подгруппа группы Spin(3) 24-го порядка.

Бинарную группу тетраэдра проще всего описать как дискретную подгруппу единиц кватернионов при изоморфизме ${\displaystyle \operatorname {Spin} (3)\cong \operatorname {Sp} (1)}$, где Sp(1) — мультипликативная группа единиц кватернионов (см. описание этого гомоморфизма в статье кватернионы и вращение пространства).

Элементы

Граф Кэли группы SL(2,3)

Бинарная группа тетраэдра задается как группа единиц в кольце целых чисел Гурвица. Имеется 24 такие единицы

${\displaystyle \{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k,{\tfrac {1}{2}}(\pm 1\pm i\pm j\pm k)\}}$

с любой комбинацией знаков.

Все 24 единицы по абсолютному значению равны 1 и поэтому находятся в группе единиц кватернионов Sp(1). Выпуклая оболочка этих 24 элементов в 4-мерном пространстве образует выпуклый правильный 4-мерный многогранник, называемый 24-ячейкой^[англ.].

Свойства

Бинарная группа тетраэдра 2T укладывается в короткую точную последовательность

${\displaystyle 1\to \{\pm 1\}\to 2T\to T\to 1.}$

Эта последовательность не расщепляется^[англ.] в том смысле, что 2T не является полупрямым произведением {±1} на T. Фактически не существует подгруппы 2T изоморфной T.

Бинарная группа тетраэдра является накрывающей группой^[англ.] тетраэдральной группы. Если рассматривать тетраэдральную группу как знакопеременную группу четырёх букв ${\displaystyle T\cong A_{4}}$, бинарная группа тетраэдра будет накрывающей группой ${\displaystyle 2T\cong {\widehat {A_{4}}}.}$

Центром группы 2T является подгруппа {±1}. Группа внутренних автоморфизмов изоморфна ${\displaystyle A_{4}}$, а полная группа автоморфизмов изоморфна ${\displaystyle S_{4}}$[1].

Умножение слева на −ω, элемент порядка 6, образует четыре орбиты. Сам элемент ω находится в самом низу: ω = (−ω)(−1) = (−ω)^4

Бинарная группа тетраэдра может быть записана как полупрямое произведение

${\displaystyle 2T=Q\rtimes \mathbb {Z} _{3}}$

где Q — группа кватернионов, состоящая из 8 единиц Липшица и Z₃, циклическая группа 3-го порядка, образованная ω = −½(1+i+j+k). Группа Z₃ работает на нормальной подгруппе Q как сопряжение. Сопряжение относительно ω — это автоморфизм Q, который циклически вращает i, j и k.

Можно показать, что бинарная группа тетраэдра изоморфна линейной группе SL(2,3) — группе всех 2×2 матриц над конечным полем F₃ с единичным детерминантом.

Задание группы

Группа 2T имеет задание, определяемое формулой

${\displaystyle \langle r,s,t\mid r^{2}=s^{3}=t^{3}=rst\rangle }$,

что эквивалентно

${\displaystyle \langle s,t\mid (st)^{2}=s^{3}=t^{3}\rangle .}$

Генераторы задаются формулой

${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(1+i+j+k)\qquad t={\tfrac {1}{2}}(1+i+j-k).}$

Подгруппы

Группа кватернионов, состоящая из 8 единиц Липшица, образует нормальную подгруппу 2T с индексом 3. Эта группа и центр {±1} являются единственными нетривиальными нормальными подгруппами.

Все остальные подгруппы группы 2T являются циклическими группами порядка 3, 4 и 6, образованными различными элементами.

Большие размерности

Поскольку тетраэдральная группа обобщается до группы симметрий вращений n-симплекса (как подгруппы SO(n)), существует соответствующая бинарная группа большего порядка, которая является накрытием 2-многообразия, получаемая из накрытия ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n).}$

Группа вращательной симметрии n-симплекса может быть представлена как знакопеременная группа из ${\displaystyle n+1}$ букв, ${\displaystyle A_{n+1},}$ и соответствующая бинарная группа является накрывающей группой^[англ.] 2-многообразия. Для всех больших размерностей, за исключением ${\displaystyle A_{6}}$ и ${\displaystyle A_{7}}$ (соответствующих 5-мерным и 6-мерным симплексам), эта бинарная группа является накрывающей группой^[англ.] (максимальной накрывающей) и сверхсовершенной^[англ.], но для размерностей 5 и 6 существует дополнительное особое накрытие 3-многообразия и бинарные группы не являются сверхсовершенными.

Использование в теоретической физике

Бинарная группа тетраэдра использована в контексте теории Янга — Миллса в 1956 году Янгом Чжэньнин[2]. Она впервые использована для построения физической модели Полем Фрэмптоном и Томасом Кефартом в 1994 году [3]. В 2012 году показано[4], что связь между углами разлёта нейтрино, полученная[5] с помощью бинарной тетраэдральной симметрии, согласуется с теорией.

См. также

• Бинарная группа многогранника^[англ.]
• Бинарная циклическая группа
• Бинарная группа диэдра^[англ.]
• Бинарная группа октаэдра^[англ.]
• Бинарная группа икосаэдра

Примечания

1. Special linear group:SL(2,3)  (неопр.). groupprops. Дата обращения: 18 июня 2015. Архивировано 4 июля 2015 года.
2. Case, 1956, с. 874—876.
3. Frampton, 1995, с. 4689—4704.
4. Eby, 2012, с. 117—304.
5. Eby, 2009, с. 386—390.

Литература

• John H. Conway, Derek A. Smith. On Quaternions and Octonions. — Natick, Massachusetts: AK Peters, Ltd, 2003. — ISBN 1-56881-134-9.
• H. S. M. Coxeter, W. O. J. Moser. Generators and Relations for Discrete Groups, 4th edition. — New York: Springer-Verlag, 1980. — ISBN 0-387-09212-9. 6.5 The binary polyhedral groups, p. 68
• E.M. Case, Robert Karplus, C.N. Yang. Strange Particles and the Conservation of Isotopic Spin // Physical Review. — 1956. — Т. 101. — doi:10.1103/PhysRev.101.874.
• Paul H. Frampton, Thomas W. Kephart. Simple Nonabelian Finite Flavor Groups and Fermion Masses // International Journal of Modern Physics. — 1995. — Т. A10.
• David A. Eby, Paul H. Frampton. Nonzero theta(13)signals nonmaximal atmospheric neutrino mixing // Physical Review. — 2012. — Т. D86. — doi:10.1103/physrevd.86.117304. — arXiv:1112.2675.
• David A. Eby, Paul H. Frampton, Shinya Matsuzaki. Predictions for neutrino mixing angles in a T′ Model // Physics Letters. — 2009. — Т. B671. — P. 386—390. — arXiv:0801.4899.