Симметрическое пространство

Симметрическое пространство — риманово многообразие, группа изометрий которого содержит центральные симметрии с центром в любой точке.

История

Начало изучению симметрических пространств было положено Эли Картаном. В частности им была получена классификация в 1926 году.

Примеры

• Евклидово пространство,
• сферы,
• Различные проективные пространства с естественной метрикой.
• Пространство Лобачевского
• Компактные полупростые групп Ли с би-инвариантной римановой метрикой.
• Любая компактная поверхность рода 2 и выше (с метрикой постоянной кривизны ${\displaystyle -1}$) является локально симметрическим пространством, но не симметрическим пространством.

Определение

Пусть ${\displaystyle M}$— связное Риманово многообразие и ${\displaystyle p}$ —точка в ${\displaystyle M}$.

Отображение ${\displaystyle s_{p}\colon M\to M}$ называется геодезической симметрией с центром в точке ${\displaystyle p}$, если

${\displaystyle s_{p}\circ \exp _{p}=-\exp _{p}.}$

Отображение ${\displaystyle s_{p}\colon U\to U}$, определённое на ${\displaystyle \varepsilon }$-окрестности ${\displaystyle U}$ точки ${\displaystyle p}$, называется локальной геодезической симметрией с центром в точке ${\displaystyle p}$, если

${\displaystyle s_{p}\circ \exp _{p}(v)=-\exp _{p}(v)}$

при ${\displaystyle |v|<\varepsilon }$.

Риманово многообразие ${\displaystyle M}$ называется  симметрическим, если центральная симметрия определена для каждой точки и при этом является изометрией ${\displaystyle M}$.

Если то же условие выполняется для локальной геодезической симметрии, то ${\displaystyle M}$ называется локально симметрическим пространством.

Связанные определения

• Односвязное симметрическое пространство считается неприводимым, если оно не изометрично произведению двух или более римановых симметрических пространств.
  • Неприводимое симметрическое пространство называется пространством компактного типа, если оно имеет неотрицательную (но не равную тождественно нулю) секционную кривизну.
  • Неприводимое симметрическое пространство называется пространством некомпактного типа, если оно имеет неположительную (но не равную тождественно нулю) секционную кривизну.
• Рангом симметрического пространства называется максимальная размерность подпространства касательного пространства в некоторой (а значит — в любой) точке, на котором кривизна равна тождественно нулю.

Свойства

• Риманово многообразие является локально симметрическим тогда и только тогда, когда его тензор кривизны параллелен.

• Любое односвязное, полное локально симметрическое пространство является симметрическим.
  • В частности, универсальное накрытие локально симметрического пространства является симметрическим.

• Группа изометрий симметрического пространства действует на нём транзитивно.
  • В частности, любое симметрическое пространство является однородным пространством ${\displaystyle G/K}$, где ${\displaystyle G}$ — группа Ли и ${\displaystyle K}$ — её подгруппа.

• Любое односвязное симметрическое пространство изометрично произведению неприводимых.

• Ранг симметрического пространства всегда не меньше 1.
  • Если ранг равен 1, то секционная кривизна положительна или отрицательна во всех секционных направлениях, и пространство является неприводимым.
  • Пространства евклидова типа имеют ранг, равный их размерности, и изометричны евклидову пространству этой размерности.

Классификация

Любое симметрическое пространство является однородным ${\displaystyle G/K}$, ниже дана классификация через ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle K}$, обозначения прострнаств те же, что у Картана.

Обозначение	G	K	Размерность	Ранг	Геометрическое описание
AI	${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$	${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$	${\displaystyle (n-1)(n+2)/2}$	n − 1	Пространство всех вещественных структур на ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ сохраняющих комплексный определитель
AII	${\displaystyle \mathrm {SU} (2n)}$	${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}$	${\displaystyle (n-1)(2n+1)}$	n − 1	Пространство кватернионных структур на ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2n}}$ с фиксированной Эрмитовой метрикой
AIII	${\displaystyle \mathrm {SU} (p+q)}$	${\displaystyle \mathrm {S} (\mathrm {U} (p)\times \mathrm {U} (q))}$	${\displaystyle 2pq}$	min(p,q)	Грассманиан комплексных p-мерных подпрастранств в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{p+q}}$
BDI	${\displaystyle \mathrm {SO} (p+q)}$	${\displaystyle \mathrm {SO} (p)\times \mathrm {SO} (q)}$	${\displaystyle pq}$	min(p,q)	Грассманиан ориентированных p-мерных ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p+q}}$
DIII	${\displaystyle \mathrm {SO} (2n)}$	${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$	${\displaystyle n(n-1)}$	[n/2]	Пространство ортогональных комплексных структур на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$
CI	${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}$	${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$	${\displaystyle n(n+1)}$	n	Пространство комплексных структур на ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ сохраняющих скалярное произведение
CII	${\displaystyle \mathrm {Sp} (p+q)}$	${\displaystyle \mathrm {Sp} (p)\times \mathrm {Sp} (q)}$	${\displaystyle 4pq}$	min(p,q)	Грассманиан кватернионных p-мерных подпрастранств в ${\displaystyle \mathbb {H} ^{p+q}}$
EI	${\displaystyle E_{6}}$	${\displaystyle \mathrm {Sp} (4)/\{\pm I\}}$	42	6
EII	${\displaystyle E_{6}}$	${\displaystyle \mathrm {SU} (6)\cdot \mathrm {SU} (2)}$	40	4	Пространство симметрических подпространств в ${\displaystyle (\mathbb {C} \otimes \mathbb {O} )P^{2}}$ исометричных ${\displaystyle (\mathbb {C} \otimes \mathbb {H} )P^{2}}$
EIII	${\displaystyle E_{6}}$	${\displaystyle \mathrm {SO} (10)\cdot \mathrm {SO} (2)}$	32	2	Комплексифицированная проективная плоскость Келли ${\displaystyle (\mathbb {C} \otimes \mathbb {O} )P^{2}}$
EIV	${\displaystyle E_{6}}$	${\displaystyle F_{4}}$	26	2	Пространство симметрических подпространств в ${\displaystyle (\mathbb {C} \otimes \mathbb {O} )P^{2}}$ изометричных ${\displaystyle \mathbb {OP} ^{2}}$
EV	${\displaystyle E_{7}}$	${\displaystyle \mathrm {SU} (8)/\{\pm I\}}$	70	7
EVI	${\displaystyle E_{7}}$	${\displaystyle \mathrm {SO} (12)\cdot \mathrm {SU} (2)}$	64	4
EVII	${\displaystyle E_{7}}$	${\displaystyle E_{6}\cdot \mathrm {SO} (2)}$	54	3	Пространство симметрических подпространств в ${\displaystyle (\mathbb {H} \otimes \mathbb {O} )P^{2}}$ изоморфных ${\displaystyle (\mathbb {C} \otimes \mathbb {O} )P^{2}}$
EVIII	${\displaystyle E_{8}}$	${\displaystyle \mathrm {Spin} (16)/\{\pm vol\}}$	128	8
EIX	${\displaystyle E_{8}}$	${\displaystyle E_{7}\cdot \mathrm {SU} (2)}$	112	4	Пространство симметрических подпространств в ${\displaystyle (\mathbb {O} \otimes \mathbb {O} )P^{2}}$ изоморфных ${\displaystyle (\mathbb {H} \otimes \mathbb {O} )P^{2}}$
FI	${\displaystyle F_{4}}$	${\displaystyle \mathrm {Sp} (3)\cdot \mathrm {SU} (2)}$	28	4	Пространство симметрических подпространств в ${\displaystyle \mathbb {O} P^{2}}$ изоморфных ${\displaystyle \mathbb {H} P^{2}}$
FII	${\displaystyle F_{4}}$	${\displaystyle \mathrm {Spin} (9)}$	16	1	плоскость Кэли ${\displaystyle \mathbb {O} P^{2}}$
G	${\displaystyle G_{2}}$	${\displaystyle \mathrm {SO} (4)}$	8	2	Пространство подалгебр алгебры Кэли ${\displaystyle \mathbb {O} }$ изоморфные алгебре Кватернионов ${\displaystyle \mathbb {H} }$

Вариации и обобщения

Определение через группы Ли

Более общее определение даётся на языке групп Ли. Обобщённое симметрическое пространство —это регулярное накрытие однородного пространства ${\displaystyle G/K}$, где ${\displaystyle G}$ группа Ли и

${\displaystyle K=\{g\in G:\sigma (g)=g\}}$

для некоторой инволюции ${\displaystyle \sigma \colon G\to G}$.

• Любое симметрическое пространство является обобщенным симметрическим пространством. При этом инволюция ${\displaystyle \sigma \colon G\to G}$ группы изометрий ${\displaystyle G}$ пространства определяется как

  ${\displaystyle \sigma \colon h\mapsto s_{p}\circ h\circ s_{p}}$

  • Обратное верно, если ${\displaystyle K}$ компактна.

Эти обобщенные симметрические пространства включают псевдо-Римановы симметрические пространств, в которых риманова метрика заменяется псевдо-Римановой метрики. В частности

• Пространство Минковского
• пространство де Ситтера
• Пространство анти-де Ситтера

Слабо симметрические пространства

В 1950-х годах Атле Сельберг дал определение слабо симметрического пространства. Они определяются как римановы многообразия с транзитивной группой изометрий такой, что для каждой точки ${\displaystyle p}$ в ${\displaystyle M}$ и касательного вектора ${\displaystyle v}$ в ${\displaystyle p}$, есть изометрия ${\displaystyle i}$, зависящая от ${\displaystyle v}$ в ${\displaystyle p}$, такая, что

• ${\displaystyle i}$ фиксирует ${\displaystyle p}$;
• ${\displaystyle di(v)=-v}$.

Если ${\displaystyle i}$ можно выбрать независимо от ${\displaystyle v}$, то пространство является симметрическим.

Классификация слабо симметрических пространств дана Ахиезером и Винбергом и основана на классификации периодических автоморфизмов комплексных полупростых алгебр Ли[1].

Сферические пространства

Компактное однородное пространство ${\displaystyle G/K}$ называется сферическим, если любое неприводимое представление группы ${\displaystyle G}$ имеет не более одного ${\displaystyle K-}$инвариантного вектора. Симметрические пространства являются сферическими.[2][3][4][5]

Эрмитовы симметрические пространствах

Симметрическое пространство, которое дополнительно снабжено параллельной комплексной структурой, согласованной с римановой метрикой, называется Эрмитовым симметрическим пространством.

Примечания

1. Akhiezer, D. N.; Vinberg, E. B. (1999), "Weakly symmetric spaces and spherical varieties", Transf. Groups, 4: 3–24, doi:10.1007/BF01236659
2. M. Krämer, Sphärische Untergruppen in kompakten zusammenhängenden Liegruppen, Compositio Math. 38(1979), no. 2, 129–153.
3. И. В. Микитюк, Об интегрируемости инвариантных гамильтоновых систем с однородными конфигурационными пространствами, Матем. сб. 129(171) (1986), ном. 4, 514–534. Engl. transl.: I. V. Mikityuk, On the integrability of invariant Hamiltonian systems with homogeneous configuration spaces, Math. USSR Sbornik 57(1987), no. 2, 527–546.
4. M. Brion, Classification des espaces homogénes sphériques, Compositio Math. 63(1987), no. 2, 189–208
5. F. Knop, B. Krötz, T. Pecher, H. Schlichtkrull. Classification of reductive real spherical pairs II. Архивная копия от 16 декабря 2019 на Wayback Machine The semisimple case. Transformation Groups 24, 467–510 (2019)

Литература

• Картан Э. Геометрия групп Ли и симметрические пространства. — ИЛ, 1949.
• Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. — Мир, 1964.
• Лоос О. Симметрические пространства. — Наука, 1985.