Однородное пространство

Тор. Стандартный тор является однородным по группам его диффеоморфизмов и гомеоморфизмов, а плоский тор однороден по его группам диффеоморфизмов, гомеоморфизмов и изометрий.

Однородное пространство неформально можно описать, как пространство, в котором все точки одинаковы, то есть существует симметрия пространства, переводящая любую точку в другую. Определение довольно общее и имеет несколько вариантов. Однородное пространство включает в себя пространства классической геометрии, такие как евклидово пространство, пространство Лобачевского, аффинное пространство, проективное пространство и другие.

Определение

Однородное пространство — множество X с выделенным транзитивным действием группы G.

• Элементы X называются точками однородного пространства.
• Элементы G называются симметриями пространства, а сама группа G называется группой движений, или основной группой, однородного пространства.
• Подгруппа ${\displaystyle H_{x}<G}$, фиксирующая элемент ${\displaystyle x\in X}$, называется стабилизатором ${\displaystyle x}$.
• Если множество X наделено дополнительной структурой, например, метрикой, топологией или гладкой структурой, то обычно предполагается, что действие G сохраняет эту структуру. Например, в случае метрики действие предполагается изометрическим. Аналогично, если X является гладким многообразием, то элементы группы являются диффеоморфизмами.

Свойства

• Все стабилизаторы являются сопряжёнными подгруппами.
• Однородное пространство с основной группой G можно отождествить с левыми классами смежности стабилизатора H. В этом случае левое действие G на себе порождает действие на пространстве классов смежности G/H.

Примеры

Метрические пространства

• Евклидово пространство ${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$ с действием группы изометрий; стабилизатором этого действия является группа ${\displaystyle \mathrm {O} (n)}$ ортогональных преобразований.
• Стандартная сфера ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$ со следующими действиями:
  • Группы ${\displaystyle \mathrm {O} (n)}$ ортогональных преобразований; стабилизатор этого действия изоморфен группе ${\displaystyle \mathrm {O} (n-1)}$.
  • Группы ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$ — специальной ортогональной группы; стабилизатор этого действия изоморфен группе ${\displaystyle \mathrm {SO} (n-1)}$.
• Пространство Лобачевского с действием группы Лоренца.
• Грассманиан: ${\displaystyle \mathrm {Gr} (r,n)=\mathrm {O} (n)/(\mathrm {O} (r)\times \mathrm {O} (n-r))}$.

Другие

• Аффинное пространство (для аффинной группы, точечный стабилизатор полной линейной группы): ${\displaystyle \mathbf {A} ^{n}=\mathrm {Aff} (n,K)/\mathrm {GL} (n,k)}$.
• Топологические векторные пространства (в топологическом смысле).
• Антидеситтеровское пространство: ${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n+1}=\mathrm {O} (2,n)/\mathrm {O} (1,n)}$.

Вариации и обобщения

• Метрическое пространство ${\displaystyle X}$ называется ${\displaystyle n}$ точечно однородным, если изометрического отображения ${\displaystyle n}$-точечно подмножества ${\displaystyle K\subset X}$ в ${\displaystyle X}$ можно продолжить до изометрии ${\displaystyle X}$
• Аналогично определяются конечно однородные, счётно однородные, компактно однородные пространства и так далее.
• Двойное фактор-пространство ${\displaystyle G/\!/H}$ — фактор группы ${\displaystyle G}$ по подгруппе ${\displaystyle H<G\times G}$, действующей на ${\displaystyle G}$ справа и слева.
• Предоднородные векторные пространства — конечномерное векторное пространство V с действием алгебраической группы G такое, что существует орбита G, открытая в топологии Зарисского (а потому плотная). Примером является группа GL(1), действующая в одномерном пространстве. Идею предоднородных векторных пространств предложил Микио Сато.
• Подобно однородное пространство — метрическое пространство ${\displaystyle (X,\rho )}$ при условии, когда группа его подобий действует транзитивно на ${\displaystyle X}$.

См. также

• Однородность пространства

Литература

• Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Теоретическая физика. В 10 томах. — М.: «Наука», 1988. — Т. 2. — ISBN 5-02-014420-7.
• Steven Weinberg. Gravitation and Cosmology (англ.). — John Wiley and Sons, 1972.
• John Milnor, James D. Stasheff. Characteristic Classes (англ.). — Princeton University Press, 1974. — ISBN 0-691-08122-0.
• Takashi Koda. An Introduction to the Geometry of Homogeneous Spaces (англ.). — Kyungpook National University.
• Menelaos Zikidis. Homogeneous Spaces (англ.). — Heidelberg University.
• Shoshichi Kobayashi, Katsumi Nomizu. chapter X // Foundations of Differential Geometry (англ.). — Wiley Classics Library, 1969. — Vol. 2.