Конформно-евклидова модель

Замощение плоскости Лобачевского правильными треугольниками.

Конформно-евклидова модель или модель Пуанкаре́ — модель пространства Лобачевского.

Существуют разновидности модели — в круге (стереографическая проекция) и на полуплоскости для планиметрии Лобачевского, а также в шаре и в полупространстве — для стереометрии Лобачевского, соответственно.

Конформно-евклидова модель примечательна тем, что в ней углы изображаются обычными углами, то есть эта модель конформна[1] в отличие от проективной модели, в которой определение углов производится гораздо сложнее.

История

Эта модель была предложена Эудженио Бельтрами, наряду с проективной моделью и моделью псевдосферы.[2] Метрика в конформно-евклидовой модели приводится также в знаменитой лекции Римана «О гипотезах, лежащих в основании геометрии», но связь с геометрией Лобачевского обнаружена именно Бельтрами. Впоследствии Анри Пуанкаре обнаружил связи этой модели с задачами теории функций комплексного переменного, что дало одно из первых серьёзных приложений геометрии Лобачевского.

Модели в круге и в шаре

Конформно-евклидова модель в круге.

За плоскость Лобачевского принимается внутренность круга (изображено на иллюстрации) в евклидовом пространстве; граница данного круга (окружность) называется «абсолютом». Роль геодезических прямых выполняют содержащиеся в этом круге дуги окружностей ${\displaystyle (a,\;b,\;b')}$, перпендикулярных абсолюту, и его диаметры; роль движений — преобразования, получаемые комбинациями инверсий относительно окружностей, дуги которых служат прямыми.

Метрикой ${\displaystyle ds}$ плоскости Лобачевского в Конформно-евклидовой модели в единичном круге является:

${\displaystyle ds^{2}={\frac {4}{(1-(x^{2}+y^{2}))^{2}}}(dx^{2}+dy^{2}),}$

где ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ — оси абсцисс и ординат, соответственно[3].

Аналогично, для конформно-евклидовой модели в шаре роль абсолюта выполняет граничная сфера в трёхмерном евклидовом пространстве, а пространством Лобачевского является внутренность шара.

Расстояния

В комплексных координатах на единичном круге расстояния можно вычислить с помощью следующей формулы:

${\displaystyle \mathop {\rm {th}} [{\tfrac {1}{2}}\cdot d_{h}(z,w)]=\left|{\frac {z-w}{1-z\cdot {\bar {w}}}}\right|.}$

Расстояние можно выразить через двойное отношение. Если на дуге ${\displaystyle w_{1}}$, ${\displaystyle z_{1}}$ точки расположены в следующем порядке: ${\displaystyle w_{1}}$, ${\displaystyle w}$, ${\displaystyle z}$, ${\displaystyle z_{1}}$ то расстояние между точками ${\displaystyle w}$ и ${\displaystyle z}$, в геометрии Лобачевского равняется

${\displaystyle d_{h}(z,w)=\ln \left({\frac {z-w_{1}}{z-z_{1}}}:{\frac {w-w_{1}}{w-z_{1}}}\right)}$.

Модели на полуплоскости и в полупространстве

В модели полуплоскости Пуанкаре за плоскость Лобачевского принимается верхняя полуплоскость. Прямая, ограничивающая полуплоскость (то есть ось абсцисс), называется «абсолютом». Роль прямых выполняют содержащиеся в этой полуплоскости полуокружности с центрами на абсолюте и начинающиеся на абсолюте перпендикулярные ему лучи (то есть вертикальные лучи). Роль движений — преобразования, получаемые композицией конечного числа инверсий с центром на абсолюте и осевых симметрий, оси которых перпендикулярны абсолюту.

Метрика ${\displaystyle ds}$ плоскости Лобачевского в конформно-евклидовой модели в верхней полуплоскости имеет вид: ${\displaystyle ds^{2}={\frac {1}{v^{2}}}(du^{2}+dv^{2})}$[3], где ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ — прямоугольные координаты, соответственно параллельно и перпендикулярно абсолюту.

Соответственно, в конформно-евклидовой модели в полупространстве роль абсолюта выполняет плоскость в трёхмерном евклидовом пространстве, а пространством Лобачевского является лежащее на этой плоскости полупространство.

См. также

• Теорема Пика — инвариантная форма леммы Шварца, использующая расстояния в конформно-евклидовой модели.

Примечания

1. Попов А. Г. Псевдосферические поверхности и некоторые задачи математической физики  (неопр.). Дата обращения: 24 июля 2007. Архивировано 20 марта 2022 года.
2. Eugenio Beltrami, Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante, Annali. di Mat., ser II, 2 (1868), 232—255.
   перевод: Бельтрами Э. Основы теории пространств постоянной кривизны. // Об основаниях геометрии : Сборник. — М.: ГИТТЛ, 1956. — С. 342—365.
3. Буяло С. В. Курс лекций «Асимптотическая геометрия метрических пространств» весна 2004.

Литература

• Черников Н. А. Преобразование Боголюбова и планиметрия Лобачевского. Раздел 4, сравнение двух моделей Пуанкаре.  (недоступная ссылка с 18-05-2013 [4403 дня] — история)
• Самаров К., Уроев В. «Модель Пуанкаре». — Журнал «Квант». — 1984 год. — номер 6.