Лемма Шварца

Лемма Шварца — классический результат комплексного анализа о гармонических отображениях из круга в себя.

Названа в честь Карлa Шварцa.

Формулировка

Пусть ${\displaystyle \Delta =\{z:|z|<1\}}$ — единичный круг на комплексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Далее, пусть функция ${\displaystyle f}$ аналитична в ${\displaystyle \Delta }$ и удовлетворяет двум условиям:

1. ${\displaystyle f(0)=0}$;
2. ${\displaystyle f(\Delta )\subset {\overline {\Delta }}}$, или, что равносильно, ${\displaystyle |f(z)|\leqslant 1}$.

Тогда:

1. ${\displaystyle |f(z)|\leqslant |z|}$ в ${\displaystyle \Delta }$;
2. ${\displaystyle |f'(0)|\leqslant 1}$.

Более того, оба эти неравенства превращаются в равенства тогда и только тогда, когда функция имеет вид ${\displaystyle f(z)=e^{i\varphi }z}$ , то есть она сводится к повороту. Идея доказательства в том, что функция ${\displaystyle f(z)/z}$ будет аналитичной при ${\displaystyle |z|<1}$ и применения к ней принципа максимума для гармонических функций.

Вариации и обобщения

• Лемма Шварца применением к исходному кругу дробно-линейного отображения автоматически ведёт к более общему утверждению — теореме Шварца — Пика.

Литература

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — С. 192. — 577 с.
• Титчмарш Е. Теория функций: Пер. с англ. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1980. — 464 с.
• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного: Пособие для высшей школы. — М.—Л.: Государственное издательство, 1927. — 316 с.
• Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.