Гиперкубические соты

Правильная квадратная мозаика. 1 color	Кубические соты в их регулярной форме. 1 color
Шахматная квадратная мозаика 2 цвета	Шахматные кубические соты. 2 цвета
Растянутая квадратная мозаика 3 цвета	Растянутые кубические соты 4 цвета
4 цвета	8 цветов

Гиперкуби́ческие соты — семейство правильных сот (замощений) в пространстве размерности ${\displaystyle n}$ с символами Шлефли ${\displaystyle {4,3...3,4}}$, имеющих симметрию группы Коксетера ${\displaystyle R_{n}}$ (или ${\displaystyle B_{n-1}^{~}}$) для ${\displaystyle n\geq 3}$.

Соты строятся из четырёх ${\displaystyle n}$-мерных гиперкубов на каждой ${\displaystyle (n-2)}$-мерной грани. Вершинной фигурой является гипероктаэдр ${\displaystyle {3...3,4}}$.

Гиперкубические соты являются самодвойственными.

Коксетер, Гарольд назвал это семейство ${\displaystyle \delta _{n}+1}$ (для ${\displaystyle n}$-мерных сот).

Классы построения Витхоффа по размерности

Имеется два основных вида гиперкубических сот, правильная форма с идентичными фасетами гиперкубов и полуправильная с чередующимися фасетами, наподобие шахматной доски.

Третья форма образуется путём операции растяжения, применённой к правильной форме. В результате растяжения создаются фасеты на месте всех элементов меньшей размерности. Например, растянутые кубические соты имеют кубические ячейки с центрами исходных кубов, на исходных фасетах, на исходных рёбрах и на исходных вершинах, создавая тем самым ячейки 4-х цветов вокруг каждой вершины с соотношением 1:3:3:1.

Прямоугольные соты — это семейство топологически эквивалентных кубическим сот, но имеющих меньшую степень симметрии. В этих сотах каждое из трёх направлений может иметь отличную от других длину. Фасеты являются гиперпрямоугольниками (на плоскости это прямоугольники, а в трёхмерном пространстве — прямоугольные параллелепипеды).

δn	Название	Символы Шлефли	Диаграммы Коксетера — Дынкина
			Прямоугольные {∞}^n (2^m цветов, m<n)	Правильные (Растянутые) {4,3^n-1,4} (1 цвет, n цветов)	Шахматные {4,3^n-4,3^1,1} (2 цвета)
δ2	Апейрогон	{∞}
δ3	Квадратная мозаика	{∞}^2 {4,4}
δ4	Кубические соты	{∞}^3 {4,3,4} {4,3^1,1}
δ5	Кубические 4-мерные соты^[англ.]	{∞}^4 {4,3^2,4} {4,3,3^1,1}
δ6	Кубические 5-мерные соты^[англ.]	{∞}^5 {4,3^3,4} {4,3^2,3^1,1}
δ7	Кубические 6-мерные соты^[англ.]	{∞}^6 {4,3^4,4} {4,3^3,3^1,1}
δ8	Кубические 7-мерные соты^[англ.]	{∞}^7 {4,3^5,4} {4,3^4,3^1,1}
δ9	Кубические 8-мерные соты^[англ.]	{∞}^8 {4,3^6,4} {4,3^5,3^1,1}
δn	Кубические n-мерные соты	{∞}^n {4,3^n-3,4} {4,3^n-4,3^1,1}	...

См. также

• Альтернированные гиперкубические соты^[англ.]
• Симплектические соты^[англ.]
• Усечённые симплектические соты^[англ.]
• Всеусечённые симплектические соты^[англ.]

Литература

• H.S.M. Coxeter. Regular Polytopes. — 3rd. — Dover edition, 1973. — ISBN 0-486-61480-8.
  1. стр. 122–123, 1973. (Решётка гиперкубов γ_n образует кубические соты δ_n+1)
  2. стр. 154–156: Частично усечённые или альтернированные, представленные префиксом h: h{4,4}={4,4}; h{4,3,4}={3^1,1,4}, h{4,3,3,4}={3,3,4,3}
  3. стр. 296, Таблица II: Правильные соты, δ_n+1