Линк вершины многогранника

Линк вершины треугольной призмы является треугольником.

Линк вершины большого икосаэдра — пентаграмма.

Линк вершины многогранника или вершинная фигура — многогранник на единицу меньшей размерности, который получается в сечении исходного многогранника плоскостью, срезающей одну вершину. В частности линк вершины содержит информацию о порядке следования граней многогранника вокруг одной вершины.

Определения — основное и вариации

Если взять некоторую вершину многогранника, отметить точку где-нибудь на каждом из прилегающих рёбер, нарисовать отрезки на гранях, соединяя полученные точки, в результате получится полный цикл (многоугольник) вокруг вершины. Этот многоугольник и является линком вершины.

Формальное определение может варьироваться очень широко в зависимости от обстоятельств. Например, Коксетер (1948, 1954) менял своё определение как ему удобно для текущего обсуждения. Большинство нижеприведённых определений линка подходит одинаково хорошо как для бесконечных мозаик на плоскости, так и для пространственных мозаик из многогранников.

Как плоское сечение

Если срезать вершину многогранника, пересекая каждое из рёбер, смежных вершине, поверхность среза будет являться линком. Это, пожалуй, наиболее общепринятый подход и наиболее понятный. Разные авторы делают срез в разных местах. Веннинджер[1][2] перерезает каждое ребро на единичном расстоянии от вершины, так же как это делает и Коксетер (1948). Для однородных многогранников построение Дормана Люка пересекает каждое смежное ребро в середине. Другие авторы делают сечение через вершину на другой стороне каждого ребра[3][4].

Как сферический многоугольник

Кромвель[5] делает сферическое сечение с центром в вершине. Поверхность сечения или линк, тогда, является сферическим многоугольником на этой сфере.

Как множество связных вершин

Многие комбинаторные и вычислительные подходы (например, Скиллинг[6]) рассматривают линк как упорядоченное (или частично упорядоченное) множество точек всех соседних (соединённых ребром) вершин для данной вершины.

Абстрактное определение

В теории абстрактных многогранников линка заданной вершины V состоит из всех элементов, инцидентных вершине — вершин, рёбер, граней и т. д.

Это множество элементов известно как вершинная звезда.

Основные свойства

Линка вершины n-многогранника — это (n−1)-многогранник. Например, линком вершины 3-мерного многогранника является многоугольник, а линком для 4-мерного многогранника является 3-мерный многогранник.

Линки наиболее полезны для однородных многогранников, поскольку все вершины имеют один линк.

Для невыпуклых многогранников линк может быть тоже невыпуклым. Однородные многогранники, например, могут иметь грани в виде звёздчатых многоугольников, звёздчатыми могут быть и линки.

Построение Дормана Люка

Грань двойственного многогранника двойственные линку соответствующей вершины.

Правильные многогранники

Если многогранник правильный, его можно описать символом Шлефли, символы граней, и линков можно извлечь из этой записи.

В общем случае правильный многогранник с символом Шлефли {a,b,c,...,y,z} имеет грани (наибольшей размерности) {a,b,c,...,y}, а в качестве линка будет {b,c,...,y,z}.

1. Для трёхмерного правильных многогранников, возможно звёздчатых {p,q}, линком будет {q}, q-угольник.
   • Например, линк для куба {4,3} — треугольник {3}.
2. Для правильных 4-мерных многогранников или пространственных мозаик {p,q,r} линком будет {q,r}.
   • Например, линком для гиперкуба {4,3,3} будет правильный тетраэдр {3,3}.
   • Линком для кубических сот {4,3,4} будет правильный октаэдр {3,4}.

Поскольку двойственный многогранник правильного многогранника также является правильным и представляется обратными индексами в символе Шлефли, легко понять, что двойственная фигура к линку вершины является ячейкой двойственного многогранника. Для правильных многогранников этот факт является частным случаем построения Дормана Люка.

Пример линка сот

Линком вершины усечённых кубических сот^[англ.] является неоднородная квадратная пирамида. Один октаэдр и четыре усечённых куба, расположенных около каждой вершины, образуют пространственную мозаику.

Линк вершины: Неоднородная квадратная пирамида	Диаграмма Шлегеля	Перспектива
Образуется из квадратного основания октаэдра	(3.3.3.3)
и четырёх равнобедренных треугольных сторон усечённого куба	(3.8.8)

Линк ребра

Усечённые кубические соты имеют два типа рёбер. Рёбра первого типа принадлежат четырём усечённым кубам, а рёбра второго — одному октаэдру и двум усечённым кубам. Это можно рассматривать как два вида линка рёбер. Эти рёбра можно рассматривать как линк линка

С линком связано другое понятие — линк ребра. Линк ребра является (n−2)-многогранником, представляющим расстановку граней размерности n−1 вокруг данного ребра (прилегающих к данному ребру). Линк ребра является линком вершины линка вершины[7]. Линки ребер полезны для выражения связей между элементами правильных и однородных многогранников.

Правильные и однородные многогранники, полученные в результате отражений с одним активным зеркалом, имеют единственный тип линка ребра, но в общем случае однородный многогранник может иметь столько линков, сколько зеркал активны при построении, поскольку каждое активное зеркало создаёт ребро в фундаментальной области.

Правильные многогранники (и соты) имеют единственный линк ребра, которая является также правильным. Для правильного многогранника {p,q,r,s,...,z} линк ребра будет {r,s,...,z}.

В четырёхмерном пространстве линк ребра многогранника или трёхмерных сот является многоугольником, представляющим расположение граней вокруг ребра. Например, линк ребра правильных кубических сот {4,3,4} является квадрат, а для правильного четырёхмерного многогранника {p,q,r} линк ребра будет {r}.

Менее очевидно, что у усечённых кубических сот^[англ.] t_0,1{4,3,4} в качестве линк вершины выступает квадратная пирамида. Здесь присутствует два типа линков ребер. Один — квадратный линк ребра при вершине пирамиды, она соответствует четырём усечённым кубам вокруг ребра. Второй лик — треугольники при основании пирамиды. Они представляют расположение двух усечённых кубов и октаэдра вокруг других ребер.

См. также

• Вершинная конфигурация
• Список правильных многомерных многогранников и соединений

Примечания

1. Веннинджер, 1974, с. 23.
2. Wenninger, 2003.
3. Coxeter, 1954, p. 401–450.
4. Skilling, 1975, p. 111–135.
5. Cromwell, 1999.
6. Skilling, 1975.
7. Klitzing: Vertex figures, etc.  (неопр.) Дата обращения: 3 ноября 2015. Архивировано 8 августа 2011 года.

Литература

• М. Веннинджер. Модели многогранников / Пер. с англ. В. В. Фирсова. Под ред. и с послесл. И. М. Яглома. — М.: Мир, 1974. — 236 с.
• H. S. M Coxeter. Chapter 8: Truncation // Regular Polytopes^[англ.]. — 3rd edition. — New York: Dover Publications Inc., 1973. — С. 145–154. — ISBN 0-486-61480-8.
• H. S. M. Coxeter (et al.). Uniform Polyhedra. — Phil. Trans, 1954. — Т. 246 A.
• P. Cromwell. Polyhedra. — Cambridge University press, 1999. — ISBN 9-521-55432-2.
• H. M. Cundy, A. P. Rollett. Mathematical Models. — Oxford, New York: Oxford University press, 1961.
• J. Skilling. The Complete Set of Uniform Polyhedra. — Phil. Trans, 1975. — Т. 278 A.
• M. Wenninger. Dual Models. — Cambridge University press, 2003. — ISBN 0-521-34534-9.
• John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Vertex figures // The Symmetries of Things. — 2008. — ISBN 978-1-56881-220-5.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Vertex figure (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Glossary For Hyperspace
• Vertex Figures
• Consistent Vertex Descriptions