Ёмкость Минковского

Ёмкость Минковского — одно из обобщений длины кривой и площади поверхности на произвольные измеримые множества в геометрической теории меры,

Ёмкость обычно применяется для фрактальных границ областей в евклидовом пространстве, но имеет смысл в контексте общих метрических пространств с мерой.

Названа в честь Германа Минковского.

Определение

Пусть ${\displaystyle (X,\mu ,d)}$ метрическое пространство с мерой, где ${\displaystyle d}$ является метрикой на ${\displaystyle X}$, а ${\displaystyle \mu }$ — это борелевская мера. Для подмножества ${\displaystyle A}$ в ${\displaystyle X}$ и вещественного ε > 0, обозначим через

${\displaystyle A_{\varepsilon }=\{x\in X\,|\,d(x,A)<\varepsilon \}}$

его замкнутую ${\displaystyle \varepsilon }$-окрестность. Нижняя ёмкость Минковского коразмерности ${\displaystyle k}$ определяется как нижний предел

${\displaystyle M_{*}(A)=\liminf _{\varepsilon \to 0}{\frac {\mu (A_{\varepsilon })-\mu (A)}{\varepsilon ^{k}}},}$

и верхняя ёмкость Минковского коразмерности ${\displaystyle k}$ как верхний предел

${\displaystyle M^{*}(A)=\limsup _{\varepsilon \to 0}{\frac {\mu (A_{\varepsilon })-\mu (A)}{\varepsilon ^{k}}}.}$

Если ${\displaystyle M^{*}(A)=M_{*}(A)}$, то их общее значение называется ёмкостью Минковского коразмерности ${\displaystyle k}$ A по мере μ, и обозначается ${\displaystyle M(A)}$.

Свойства

• Если ${\displaystyle A}$ есть замкнутое ${\displaystyle n}$-спрямляемое множество в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+k}}$, то ёмкость Минковского ${\displaystyle A}$ по отношению к объёму на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+k}}$ существует и совпадает с его ${\displaystyle n}$-мерной мерой Хаусдорфа с точностью до нормализации.

См. также

• Размерность Минковского

Литература

• Федерер Г. Геометрическая теория меры. — 1987. — 760 с.