Спрямляемое множество

Спрямляемое множество — обобщение спрямляемой кривой на высшие размерности.

Спрямляемые множества являются основным объектом исследования в геометрической теории меры. На спрямляемые множества обобщается большое число понятий определённых для гладких многообразий. В том числе объёма, касательного пространства, понятие почти всюду и т. д.

Определение

Подмножество ${\displaystyle E}$ в евклидовом пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ называется ${\displaystyle m}$-спрямляемым множеством, если существует счётное множество ${\displaystyle \{f_{i}\}}$ непрерывно дифференцируемых отображений

${\displaystyle f_{i}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$

таких, что

${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}\left[E\backslash \bigcup _{i=0}^{\infty }f_{i}\left(\mathbb {R} ^{m}\right)\right]=0,}$

где ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}$ обозначает ${\displaystyle m}$-мерную меру Хаусдорфа.

Замечания

• Функции ${\displaystyle f_{i}}$ в определении могут быть заменены на липшицевы, при этом класс спрямляемых множеств останется без изменений[1].

Примечания

1. В Simon, 1984, p. 58 это определение названо «countably m-rectifiable».

Литература

• Федерер Г., Геометрическая теория меры, 1987, с. 760.
• Federer, Herbert (1969), Geometric measure theory, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 153, New York: Springer-Verlag, pp. xiv+676, ISBN 978-3-540-60656-7, MR 0257325 {{citation}}: Недопустимый |ref=harv (справка)
• Simon, Leon (1984), Lectures on Geometric Measure Theory, Proceedings of the Centre for Mathematical Analysis, vol. 3, Canberra: Centre for Mathematics and its Applications (CMA), Australian National University, pp. VII+272 (loose errata), ISBN 0-86784-429-9, Zbl 0546.49019