Измеримое множество

Измеримое множество — в математике множество, имеющее измеримую характеристическую функцию (т. е. функцию, равную 1 на этом множестве и равную 0 на дополнении этого множества)[1].

Множество называется измеримым относительно меры ${\displaystyle \mu }$, если оно принадлежит σ-алгебре, на которой определена ${\displaystyle \mu }$. Для подмножеств евклидова пространства, если мера не указывается, предполагается что ${\displaystyle \mu }$ — это мера Лебега.

Определение через внешнюю меру

Пусть имеется полукольцо S с единицей E и σ-аддитивная мера ${\displaystyle \mu }$ на нём — это значит, что для любого множества ${\displaystyle A\subset S}$ можно определить внешнюю меру. Тогда множество A называется измеримым относительно меры ${\displaystyle \mu }$, если

${\displaystyle \forall \varepsilon >0:\forall B\subset S:\mu ^{*}(A\triangle B)<\varepsilon \Rightarrow B\in R(S):,}$

где R(S) — минимальное кольцо, содержащее S, а ${\displaystyle \triangle }$ — симметрическая разность множеств. При этом множество измеримых множеств будет σ-алгеброй, а ограничение внешней меры на это множество — σ-аддитивной мерой.

Свойства

• Объединение конечной или счётной совокупности измеримых множеств есть измеримое множество[2].

Примечания

1. Шилов, 1961, с. 158.
2. Шилов, 1961, с. 159.

Литература

• Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — М.: Наука, 1961. — 436 с.