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中心線 (幾何学) 」は
暫定的なもの です。
（2024年3月 ）
幾何学 において, 中心線 [訳語疑問点 （ちゅうしんせん、英 : Central lines ）とは三角形 に対して一意に決まる直線の総称である。中心線はほとんどの場合、三線座標 によってあらわすことができる。中心線は三角形の中心 とも密接にかかわっている。中心線の概要は1994年のクラーク・キンバーリング （英語版 ） [ 1] [ 2]
△ABC に対する三線座標 x : y : z
f
(
a
,
b
,
c
)
x
+
g
(
a
,
b
,
c
)
y
+
h
(
a
,
b
,
c
)
z
=
0
{\displaystyle f(a,b,c)\,x+g(a,b,c)\,y+h(a,b,c)\,z=0}
f
(
a
,
b
,
c
)
:
g
(
a
,
b
,
c
)
:
h
(
a
,
b
,
c
)
{\displaystyle f(a,b,c):g(a,b,c):h(a,b,c)}
[ 3] [ 4]
三角形の中心と中心線の幾何的な結び付けの一つに三線極線 （trilinear polars）と等角共役 がある。
三線座標で
X
=
u
(
a
,
b
,
c
)
:
v
(
a
,
b
,
c
)
:
w
(
a
,
b
,
c
)
{\displaystyle X=u(a,b,c):v(a,b,c):w(a,b,c)}
x
u
(
a
,
b
,
c
)
+
y
v
(
a
,
b
,
c
)
+
z
w
(
a
,
b
,
c
)
=
0
{\displaystyle {\frac {x}{u(a,b,c)}}+{\frac {y}{v(a,b,c)}}+{\frac {z}{w(a,b,c)}}=0}
X の三線極線 と呼ばれる[ 2] [ 5]
Y
=
1
u
(
a
,
b
,
c
)
:
1
v
(
a
,
b
,
c
)
:
1
w
(
a
,
b
,
c
)
{\displaystyle Y={\frac {1}{u(a,b,c)}}:{\frac {1}{v(a,b,c)}}:{\frac {1}{w(a,b,c)}}}
X の等角共役点 と呼ばれる。
したがって、次の式で与えられる中心線は点
f
(
a
,
b
,
c
)
:
g
(
a
,
b
,
c
)
:
h
(
a
,
b
,
c
)
{\displaystyle f(a,b,c):g(a,b,c):h(a,b,c)}
f
(
a
,
b
,
c
)
x
+
g
(
a
,
b
,
c
)
y
+
h
(
a
,
b
,
c
)
z
=
0
{\displaystyle f(a,b,c)\,x+g(a,b,c)\,y+h(a,b,c)\,z=0}
△ABC と点X について、中心線は以下の様に定義される。
Y をX の等角共役点とする。AY, BY, CY は直線 AX, BX, CX をA, B, C の角の二等分線 で鏡映した線(等角共役線)である。△ABC と点Y に対するチェバ線 AY, BY, CY とBC, CA, AB の交点A', B', C' でチェバ三角形△A'B'C' を作る。△ABC と△A'B'C' はY を中心とし配景 なのでデザルグの定理 が成り立つ。この配景の軸DEF をY の三線極線 、X の中心線 と言う。
クラーク・キンバーリングの「Encyclopedia of Triangle Centers 」における点Xn に対する中心線はLn と表記される。
△ABC とその傍心三角形の配景の軸、反垂軸
内心 X 1 = 1 : 1 : 1I )の中心線は、反垂軸 （Antiorthic axis）と呼ばれ、以下の式で表される。
x
+
y
+
z
=
0.
{\displaystyle x+y+z=0.}
△ABC の内心の等角共役点は内心自身である。したがって、△ABC とその内心三角形（incentral triangle、内心のチェバ三角形 ）の配景の軸は反垂軸である。反垂軸は△ABC と傍心三角形△I 1 I 2 I 3 の配景の軸である[ 6]
△ABC の傍接円の△ABC の辺でない共通接線の成す三角形は外接線三角形（extangents triangle）と呼ばれる。 △ABC と外接線三角形の配景の軸は反垂軸である。
△ABC の重心 X 2 G
1
a
:
1
b
:
1
c
{\displaystyle {\frac {1}{a}}:{\frac {1}{b}}:{\frac {1}{c}}}
x
a
+
y
b
+
z
c
=
0.
{\displaystyle {\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}+{\frac {z}{c}}=0.}
ルモワーヌ軸 、ルモワーヌ線（Lemoine axis, Lemoine line）と呼ばれる。
X 2 類似重心 X 6 K ）の三線座標はa : b : c △ABC の頂点の外接円に対する接線の成す三角形を接線三角形 △TA TB TC という。 △ABC と外接三角形の配景の軸はルモワーヌ軸である。
外心 X 3 O ）の三線座標は以下の様に与えられる。
cos
A
:
cos
B
:
cos
C
{\displaystyle \cos A:\cos B:\cos C}
x
cos
A
+
y
cos
B
+
z
cos
C
=
0.
{\displaystyle x\cos A+y\cos B+z\cos C=0.}
垂軸 （Orthic axis）という[ 7]
外心X 3 垂心 X 4 H ）の三線座標はsec A : sec B : sec C である。垂心の三線極線は垂軸で、これはオイラー線 と垂直に交わる[ 8] △ABC と垂足三角形 △HA HB HC の配景の軸は垂軸である。
垂心 X 4 H ）の三線座標は以下の様に与えられる。
sec
A
:
sec
B
:
sec
C
{\displaystyle \sec A:\sec B:\sec C}
x
sec
A
+
y
sec
B
+
z
sec
C
=
0.
{\displaystyle x\sec A+y\sec B+z\sec C=0.}
九点円 の中心X 5 N
cos
(
B
−
C
)
:
cos
(
C
−
A
)
:
cos
(
A
−
B
)
.
{\displaystyle \cos(B-C):\cos(C-A):\cos(A-B).}
X 5
x
cos
(
B
−
C
)
+
y
cos
(
C
−
A
)
+
z
cos
(
A
−
B
)
=
0.
{\displaystyle x\cos(B-C)+y\cos(C-A)+z\cos(A-B)=0.}
類似重心 X 6 K ）の三線座標は以下の式で与えられる。
a
:
b
:
c
{\displaystyle a:b:c}
a
x
+
b
y
+
c
z
=
0.
{\displaystyle ax+by+cz=0.}
この直線は△ABC の無限遠直線
類似重心の等角共役点は重心 である。したがって重心の三線極線は△ABC の無限遠線である。 △ABC とその中点三角形 の配景の軸は無限遠線である。
△ABC のオイラー線 とは重心、外心、垂心、九円点の中心などを通る直線である。オイラー線の三線座標は以下の式で与えられる。
x
sin
2
A
sin
(
B
−
C
)
+
y
sin
2
B
sin
(
C
−
A
)
+
z
sin
2
C
sin
(
A
−
B
)
=
0.
{\displaystyle x\sin 2A\sin(B-C)+y\sin 2B\sin(C-A)+z\sin 2C\sin(A-B)=0.}
X 647
△ABC のナーゲル線 （Nagel line）とは内心、重心、シュピーカー中心 、ナーゲル点 などを通る直線である。ナーゲル線の三線座標は以下の式で与えられる。
x
a
(
b
−
c
)
+
y
b
(
c
−
a
)
+
z
c
(
a
−
b
)
=
0.
{\displaystyle xa(b-c)+yb(c-a)+zc(a-b)=0.}
X 649
△ABC のブロカール軸 （Brocard axis）とは外心と類似重心、ブロカール円 の中心などを通る直線である。ブロカール軸の三線座標は以下の式で与えられる。
x
sin
(
B
−
C
)
+
y
sin
(
C
−
A
)
+
z
sin
(
A
−
B
)
=
0.
{\displaystyle x\sin(B-C)+y\sin(C-A)+z\sin(A-B)=0.}
X 523
