In matematica , una famiglia di polinomi
p
n
(
x
)
{\displaystyle p_{n}(x)}
n
=
0
,
1
,
2
,
…
,
{\displaystyle n=0,1,2,\ldots ,}
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
sequenza di polinomi ortogonali nell'intervallo
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
funzione peso
w
(
x
)
{\displaystyle w(x)}
∫
a
b
w
(
x
)
p
n
(
x
)
p
m
(
x
)
d
x
=
0
,
∀
n
,
m
=
0
,
1
,
2
,
…
,
con
n
≠
m
.
{\displaystyle \int _{a}^{b}w(x)p_{n}(x)p_{m}(x)\,dx=0,\qquad \forall n,m=0,1,2,\dots ,\qquad {\mbox{con }}n\neq m.}
Mentre i polinomi di una qualsiasi sequenza polinomiale possono essere considerati vettori di uno spazio vettoriale mutuamente linearmente indipendenti , i componenti di una sequenza di polinomi ortogonali si possono considerare vettori mutuamente ortogonali di uno spazio vettoriale con prodotto interno , quando si definisce questa funzione bilineare chiedendo che applicata a una qualsiasi coppia di polinomi
p
(
x
)
{\displaystyle p(x)}
q
(
x
)
{\displaystyle q(x)}
∫
a
b
w
(
x
)
p
(
x
)
q
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle \int _{a}^{b}w(x)p(x)q(x)\,dx.}
Esempi di successioni di polinomi ortogonali sono:
I polinomi di Čebyšëv di prima specie
T
n
(
x
)
{\displaystyle T_{n}(x)}
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle [-1,1]}
w
(
x
)
=
1
1
−
x
2
,
per
−
1
<
x
<
1.
{\displaystyle w(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},\quad {\mbox{per }}-1<x<1.}
I polinomi di Čebyšëv di seconda specie
U
n
(
x
)
{\displaystyle U_{n}(x)}
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle [-1,1]}
w
(
x
)
=
1
−
x
2
,
per
−
1
<
x
<
1.
{\displaystyle w(x)={\sqrt {1-x^{2}}},\quad {\mbox{per }}-1<x<1.}
I polinomi di Gegenbauer , ortogonali nell'intervallo
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle [-1,1]}
(
1
−
x
2
)
α
−
1
/
2
.
{\displaystyle (1-x^{2})^{\alpha -1/2}.}
I polinomi di Jacobi , ortogonali nell'intervallo
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle [-1,1]}
(
1
−
x
)
α
(
1
+
x
)
β
.
{\displaystyle (1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }.}
I polinomi di Laguerre
L
n
(
α
)
(
x
)
{\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)}
α
>
−
1
{\displaystyle \alpha >-1}
[
0
,
+
∞
)
{\displaystyle [0,+\infty )}
x
α
e
−
x
.
{\displaystyle x^{\alpha }e^{-x}.}
Un'altra possibilità è definire un prodotto interno :
(
f
n
,
f
m
)
=
∑
i
=
a
b
w
(
x
i
)
f
n
(
x
i
)
∗
f
m
(
x
i
)
,
{\displaystyle (f_{n},f_{m})=\sum _{i=a}^{b}w(x_{i})f_{n}(x_{i})^{*}f_{m}(x_{i}),}
dove gli
x
i
{\displaystyle x_{i}}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
i polinomi di Chebyshev sono ortogonali rispetto alla distribuzione
w
(
x
)
=
1
{\displaystyle w(x)=1}
[
a
,
b
]
=
[
0
,
N
−
1
]
{\displaystyle [a,b]=[0,N-1]}
i polinomi di Charlier sono ortogonali rispetto alla distribuzione
e
−
u
u
x
x
!
{\displaystyle {\frac {e^{-u}u^{x}}{x!}}}
[
a
,
b
]
=
[
0
,
+
∞
]
{\displaystyle [a,b]=[0,+\infty ]}
Esiste una classificazione dei polinomi ortogonali inventata dal matematico statunitense Richard Askey che utilizza le funzioni ipergeometriche .
Polinomi ortonormali
In linea con la definizione di base ortonormale , dei polinomi ortogonali si dicono ortonormali se soddisfano la relazione:
(
p
i
,
p
j
)
=
∫
a
b
w
(
x
)
p
i
(
x
)
p
j
(
x
)
d
x
=
δ
i
,
j
,
{\displaystyle (p_{i},p_{j})=\int _{a}^{b}w(x)\,p_{i}(x)\,p_{j}(x)\,dx=\delta _{i,j},}
per ogni
i
,
j
{\displaystyle i,j}
Bibliografia
Voci correlate
Altri progetti
Collegamenti esterni
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle [-1,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e3b7f14a6f70e614728c583409a0b9a8b9de01)
![{\displaystyle [a,b]=[0,N-1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e71f1314481a8e01247c096bcabf383ee5cb129)
![{\displaystyle [a,b]=[0,+\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6351f19095bf81f0364b14b2be5af1b1072e5182)
