Sequenza di Sturm

Si definisce sequenza di Sturm su un intervallo ${\displaystyle (a,b)}$, dove ${\displaystyle a}$ e/o ${\displaystyle b}$ possono essere infiniti, una sequenza di polinomi

${\displaystyle f_{1}(x),f_{2}(x)...f_{n}(x)}$

tale che

• ${\displaystyle f_{n}(x)}$ non si annulla mai su ${\displaystyle (a,b)}$
• Per ogni zero di ${\displaystyle f_{k}(x)}$ con ${\displaystyle k=2,3...n-1}$ si ha ${\displaystyle f_{k-1}(x)f_{k+1}(x)<0}$

Il nome deriva dal matematico Jacques Charles François Sturm.

Teorema

Per ${\displaystyle a<x<b}$ definiamo la funzione ${\displaystyle V(x)}$ come il numero di volte che i termini della sequenza ${\displaystyle f_{1}(x),f_{2}(x),...,f_{n}(x)}$ cambiano segno, ignorando gli zeri. Se ${\displaystyle a}$ è finita allora definiamo ${\displaystyle V(a)}$ come ${\displaystyle V(a+\varepsilon )}$ dove ${\displaystyle \varepsilon }$ è tale che ${\displaystyle f_{i}(x)\neq 0}$ per ${\displaystyle i=1,2...n}$ e per ogni ${\displaystyle x\in (a,a+\varepsilon )}$ e definiamo analogamente ${\displaystyle V(b)}$. Se ${\displaystyle a=-\infty }$ allora definiamo ${\displaystyle V(a)}$ come il numero di volte che i termini della sequenza ${\displaystyle \left\{\lim _{x\rightarrow -\infty }f_{i}(x)\right\}}$ cambiano segno, e analogamente definiamo ${\displaystyle V(b)}$.

È possibile esprimere il teorema:

Sia ${\displaystyle \left\{f_{i}(x)\right\}_{i=1,2...n}}$ una sequenza di Sturm sull'intervallo ${\displaystyle (a,b)}$ allora se né ${\displaystyle f_{1}(a)}$ e né ${\displaystyle f_{1}(b)}$ è uguale a zero,

${\displaystyle I_{a}^{b}{\frac {f_{2}(x)}{f_{1}(x)}}=V(a)-V(b)}$

dove si è usato l'indice di Cauchy.

Dimostrazione

Consideriamo ${\displaystyle x}$ spostarsi sull'asse dei reali, il valore di ${\displaystyle V(x)}$ non cambia quando ${\displaystyle x}$ attraversa uno zero di ${\displaystyle f_{k}(x)}$ con ${\displaystyle k=2,3...n}$ a causa della seconda proprietà delle sequenze di Sturm, quindi ${\displaystyle V(x)}$ cambia solo quando ${\displaystyle x}$ attraversa uno zero di ${\displaystyle f_{1}(x)}$. Se ${\displaystyle x_{0}}$ è uno zero di ${\displaystyle f_{1}(x)}$ allora non è uno zero di ${\displaystyle f_{2}(x)}$ sempre a causa della seconda proprietà, per cui ${\displaystyle f_{2}(x)}$ ha lo stesso segno sia alla destra di ${\displaystyle x_{0}}$ che alla sinistra.

Se ${\displaystyle x_{0}}$ ha molteplicità pari allora ${\displaystyle f_{1}(x)}$ non cambia di segno quando ${\displaystyle x}$ attraversa ${\displaystyle x_{0}}$ e di conseguenza ${\displaystyle V(x)}$ non cambia, invece se ${\displaystyle x_{0}}$ ha molteplicità dispari allora ${\displaystyle V(x)}$ aumenta di 1 se ${\displaystyle f_{1}(x)}$ e ${\displaystyle f_{2}(x)}$ hanno lo stesso segno alla sinistra di ${\displaystyle x_{0}}$, viceversa ${\displaystyle V(x)}$ diminuisce di 1 se ${\displaystyle f_{1}(x)}$ e ${\displaystyle f_{2}(x)}$ hanno segno opposto alla sinistra di ${\displaystyle x_{0}}$. In modo corrispondente per gli zeri con moltiplicità dispari l'indice di Cauchy riceve un contributo -1 se ${\displaystyle f_{1}(x)}$ e ${\displaystyle f_{2}(x)}$ hanno lo stesso segno alla sinistra di ${\displaystyle x_{0}}$, o un contributo +1 se ${\displaystyle f_{1}(x)}$ e ${\displaystyle f_{2}(x)}$ hanno segno opposto alla sinistra di ${\displaystyle x_{0}}$.